Question

已知A\B两点是反比例函数y=k/x的图像上的任意两点（x＞0，k＞0）过点A、B分别做y轴的垂线，垂足分别为D、

C,记梯形ABCD的面积是S1，△AOB的面积是S2，则S1比S2的值是

Answer 1

答：设点A为（a，k/a），点B为（b，k/b），令a>b>0.
依题意知道：点C为（0，k/b），点D为（0，k/a）。
S1=（AD+BC)*CD/2
=(a+b)*（k/b-k/a)/2
=(a^2-b^2)k/(2ab)

AO直线为：y=kx/a^2，即：kx-a^2y=0
AO=√[a^2+(k/a)^2]=√(a^4+k^2)/a
点B到直线AO的距离为：|kb-a^2*k/b|/√[k^2+(-a^2)^2]=(a^2-b^2)k/[b√(k^2+a^4)]
故：
S2
=AO*点B到直线AO的距离/2
=[√(a^4+k^2)/a]*(a^2-b^2)k/{b√[k^2+(a^2)]}/2
=(a^2-b^2)k/(2ab)

所以：S1/S2=1