Question

如图,已知AB是○O的直径,CD与○O相切与点C,作CD⊥AD,垂足为D,直线CD与AB的延长线交于点E

证AC平分∠DAE
过点C做轩CF⊥AB叫AB与点G，若AC=2倍根号3，BG=1，求阴影面积 CBE

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠DAC，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠DAC=∠OAC，
∴AC平分∠DAB；

（2）连接BC
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∵CF⊥AB即∠AGC=90°
∴∠ACB=∠AGC
∵∠BAC=∠CAG
∴△ABC∽△ACG
∴AC/AB=AG/AC
AC²=AB×AG=(AG+BG)×AG
(2√3)²=AG²+AG×1
AG²+AG-12=0
AG=3 (AG=-4舍去）
∴AB=AG+BG=4
BC=√(AB²-AC²)=2
∴CG=√(BC²-BG²)=√3
在Rt△ABC中：BC/AB=2/4=1/2，BC=1/2AB
∴∠CAB=30°
∴∠ABC=60°
∠BCG=30°(在Rt△BCG中）
∵CE是圆的切线
∴∠ECB=∠CAB=30°
∴∠ECG=∠BCG+∠ECB=60°
∴∠CEG=90°-∠ECG=30°
在Rt△CGE中
CE=2CG=2√3
EG²=CE²-CG²=(2√3)²-(√3)²=3
∴BE=EG-BG=3-1=2
∴S△CBE=1/2BE×CG=1/2×2×√3=√3