Question

线性代数matlab实验报告

有两家公司R和S经营同类的产品，他们相互竞争。每年R公司保有1/4的顾客，而3/4转向S公司；每年S保有2/3的顾客，而1/3转向R。当产品开始制造时R公司占有3/5的市场份额，而S公司占有2/5的市场份额。问两年后，两家公司的市场份额变化怎样，五年后会怎样？十年后呢？是否有一组初始市场份额分配数据使以后每年的市场分配成为稳定不变

Answer 1

额，同学和我一样啊！！你是？？ (商品的市场占有率问题) 有两家公司 R 和 S 经营同类的产品, 它们相互竞争. 每年 R 公司保有 1/4 的顾客,而 3/4 转移向 S 公司;每年 S 公司保有 2/3 的顾 客,而 1/3 转移向 R 公司.当产品开始制造时 R 公司占有 3/5 的市场分额,而 S 公司占有 2/5 的市场分额.问两年后,两家公司所占的市场分额变化怎样, 五年以后会怎样? 十年以后如何? 是否有一组初始市场分额分配数据使以后每 年的市场分配成为稳定不变? 问题分析与数学模型 根据两家公司每年顾客转移的数据资料,可得以下转移矩阵:
1 4 A= 3 4 1 3 2 3
根据产品制作之初,市场的初始分配数据可得如下向量:
3 5 X0 = 2 5
所以 n 年后,市场分配为:
1 4 X n = AX n 1 = L = A n X 0 = 3 4 1 3 2 3
n
3 5 2 5
设有数据 a 和 b 为 R 公司和 S 公司的初始市场份额,则 a + b = 1 .为了使以后每年的市 场分配不变,根据顾客数量转移的规律,有:
1 4 3 4 1 3 a a = 2 b b 3
即
3 4 3 4 1 3 a =0 1 b 3
该方程若有解,则应该在非零解的集合中选取正数解作为市场稳定的初始份额. 程序和计算结果 为了得到两年,五年,十年后市场的分配情况.
在 MATLAB 窗口中输入 >>
A=[1/4 1/3;3/4 2/3] %输入转移矩阵
A >> x0=[3/5;2/5] %输入初始向量,即初始市场份额
>> x2=A^2*x0 %计算两年后的市场份额
>> x5=A^5*x0 %计算五年后的市场份额
>> x10=A^10*x0 %计算十年后的市场份额
x2 = 0.3097 0.6903 x5 = 0.3077 0.6923

x10 = 0.3077 0.6923 由此可得下表 6.3表 6.3市场份额的转移率: 两年后 五年后 十年后
R 公司的市场份额 31% 31% 31%
S 公司的市场份额 69% 69% 69%

为了求 a 和 b 作为 R 公司和 S 公司稳定的初始市场份额,需要求解齐次方程组.
在 MATLAB 窗口中输入:
>> format rat %定义输出格式为小整数比的近似值
>> rref(A-eye(2)) %对矩阵 A I 2×2 进行初等变换,所得矩阵为矩阵 % A I 2×2 的最简行阶梯矩阵 ans = 1 0 -4/9 0
4 a b =0. 9 4 ≈ 31% 13 9 b= ≈ 69% 13 a=
由此得简化后的方程为
结合约束条件 a + b = 1 ,可得
这是使市场稳定的两家公司的初始份额,也正好与表中的数据吻合. 问题的解答和进一步思考 在 R 公司和 S 公司的市场初始份额分别为 60%和 40%的情况下,根据计算结果, 两年后情况变化较大:R 公司大约占 31%,S 公司大约占 69%.而五年以后与两年以 后比较变化不大:R 公司大约占 30.8%,S 公司大约占 69%.十年后的的情况与五年 后的情况比较大约不变.市场已趋于稳定.