Question

如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF‖AC交BA

如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF‖AC交BA的延长线于F．
（1）求证：EF是⊙O切线；
（2）若AB=15，EF=10，求AE的长．
如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF‖AC交BA的延长线于F．
（1）求证：EF是⊙O切线；
（2）若AB=15，EF=10，求AE的长．
如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF‖AC交BA的延长线于F．
（1）求证：EF是⊙O切线；
（2）若AB=15，EF=10，求AE的长．

Answer 1

因为平行 所以∠FEA=∠EAC
因为同弧 CE 所以∠EAC=∠EBC
所以 ∠FEA=∠EBC
又因为 ∠B的平分线BE 所以 ∠EBC=∠EBA
所以∠FEA=∠EBA
所以是切线

（2）由切线得
EF^2=AF*BF 即 10^2=AF*(AF+15) 解得 AF=5
又相似三角形AFE∽三角形EFB 得 AF/EF=AE/EB=5/10=1/2
所以EB=2AE
在RT三角形AEB中，AE^2+EB^2=BA^2
即 AE^2+(2AE)^2=15^2
所以AE=3根号下5