Question

如果P是函数y=f(x)图象上的点,Q是函数y=g(x)图象上的点,且P,Q两点之间的距离|PQ|

求详解

Answer 1

此题是考查理解问题的能力，二个函数图像上任意二点间距离的最小值定义为这二个函数间的距离，因为f(x)=x/2,g(x)=√(-x^2+1x-3)，它们的公共定义域为[1,3]
又二函数图像存在交点
x/2=√(-x^2+4x-3)==>x1=6/5，x2=2
∴这二个函数间的距离为0

追问

f(x)=根号X，1/2是在右上角的

追答

因为f(x)=√x,g(x)=√(-x^2+4x-3)，它们的公共定义域为[1,3]
∵g(x)=√(-x^2+4x-3)=√(1-(x-2)^2)，其图像为半圆
令h(x)=√x-√(-x^2+4x-3)
令h’(x)=1/(2√x)+(2x-4)/[2√(-x^2+4x-3)]=0==>x=1.63591
∴x=1.63591时，h(x)取最小值f(1.63591)=√1.63591=1.27903
即函数f(x)图像上点（1.63591，1.27903）到半圆g(x)的最小距离为二函数的距离
即√[(1.63591-2)^2+(1.27903)^2]-1=0.32984
∴这二个函数间的距离为0.32984

追问

看着有点晕，答案是√7/2-1额

追答

因为f(x)=√x,g(x)=√(-x^2+4x-3)，它们的公共定义域为[1,3]
∵g(x)=√(-x^2+4x-3)=√(1-(x-2)^2)，其图像为半圆
设函数f(x)上一点(x0, √x0)到函数g(x)图像的距离为最小
∴过此点函数f(x)的切线一定垂直于此点与g(x)图像圆的圆心的连线
过此点函数f(x)的切线的斜率=f’(x0)=1/(2√x0)
∴此点与g(x)图像圆的圆心的连线的斜率=-2√x0
连线的方程：y-√x0=-2√x0(x-x0)
圆心（2，0）在此边线上
∴0-√x0=-2√x0(2-x0)==>x0=3/2
∴点(x0, √x0)=(3/2,√6/2)
点(x0, √x0)到圆心的距离=√[(3/2-2)^2+3/2]=√7/2
∴这二个函数间的距离为√7/2-1

追问

斜率=f’(x0)=1/(2√x0)是怎么来的？

追答

斜率=函数f(x)在x=x0点的导函数值
f(x)=√x==>f'(x)=-1/(2√x)==>f’(x0)=1/(2√x0)

追问

麻烦再问一下，能不能不用导数求斜率啊，我们这里不学导数的

追答

对于函数，求过某点处切线的斜率，必须用导数