Question

一道高数无穷级数题目！拜托啦！

这两种拆分方式应该都对，但答案不一样！两种可以吗？请教了

Answer 1

2x/(4-x^2)=2x/((2+x)(2-x))=1/(2-x)-1/(2+x),
2x/(4-x^2)=x/2*4/(4-x^2)=(1/2)*x/(1-(x/2)^2)=(1/2)*(1/(1-x/2)-1/(1+x/2))
2x/(4-x^2)=2x/((2+x)(2-x))=(x/2)*(1/(2-x)+1/(2+x))
2x/(4-x^2)=(x/2)*4/(4-x^2)=(x/2)*1/(1-(x/2)^2)=(x/4)*(1/(1-x/2)+1/(1+x/2))
本质是一样的，都行。
1/(1-x)的幂级数展开是x^n求和(n从0到无穷大),1/(1+x)的幂级数展开是(-x)^n求和(n从0的无穷大)
1/(1-x/2)的幂级数展开是(x/2)^n求和(n从0到无穷大),1/(1+x/2)的幂级数展开是(-x/2)^n求和(n从0到无穷大)
1/(1-x/2)+1/(1+x/2)的幂级数展开是2*(x/2)^(2n)(n从0到无穷大),
(x/2)*(1/(1-x/2)+1/(1+x/2))的幂级数展开是2*(x/2)^(2n+1)(n从0到无穷大),
2x/(4-x^2)的幂级数展开是(x/2)^(2n+1)(n从0到无穷大)。
1/(1-x/2)-1/(1+x/2)的幂级数展开是2*(x/2)^(2n+1)(n从0到无穷大)，
2x/(4-x^2)的幂级数展开是(x/2)^(2n+1)(n从0到无穷大)。
两种展开得到的结果相同。

Answer 2

是一样的.
按方式A:
2x/(4-x²) = x/4·(1/(1-x/2)+1/(1+x/2))
= x/4·(∑{0 ≤ n} (x/2)^n+∑{0 ≤ n} (-1)^n·(x/2)^n)
= x/4·∑{0 ≤ 2n} 2(x/2)^(2n) (相加时奇数项抵消)
= ∑{0 ≤ n} (x/2)^(2n+1) (整数n满足0 ≤ 2n当且仅当0 ≤ n).

按方式B:
2x/(4-x²) = 1/(2-x)-1/(2+x)
= 1/2·(1/(1-x/2)-1/(1+x/2))
= 1/2·(∑{0 ≤ n} (x/2)^n-∑{0 ≤ n} (-1)^n·(x/2)^n)
= 1/2·∑{0 ≤ 2n+1} 2(x/2)^(2n+1) （相减时偶数项抵消）
= ∑{0 ≤ n} (x/2)^(2n+1) (整数n满足0 ≤ 2n+1当且仅当0 ≤ n).

Answer 3