Question

高等数学，求二重积分

∫∫√（1-x^2/a^2-y^2/b^2），D={(x,y)|x^2/a^2+y^2/b^2≤1}，其中a＞0，b＞0
如果大神嫌打字麻烦，可以把手写的解答过程拍下来，发到我的Q箱：
1197562062

Answer 1

作广义极坐标变换:
x=arcosz,y=brsinz,J=D(x,y)/D(r,z)=abr.
积分函数为ab(1-r^2)^0.5*r,0<=r<=1,0<=z<2π.
显然对角度积分为2π.
即从0-1积∫∫√(1-r^2)*rdr,用第一种换元法转化为-abπ∫∫√(1-r^2)d(1-r^2)。积分结果为3abπ/2.

Answer 2

供参考！

Answer 3

令x=arcosc, y=brsinc
dx=acoscdr-arsincdc
dy=bsincdr+brcoscdc
原式=∫∫√（1-r^2)abrdrdc

其中
r的积分限为0，1
c的积分限位0，2pi
问题简化为求∫√（1-r^2)abrdr就容易了。