Question

如图1,在△ABC中,已知∠BAC=45°,AD⊥BC于D,BD=2,DC=3,求AD的长.

如图1，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求AD的长．
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1．她分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，得到四边形AEGF是正方形．设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值．
（1）请你帮小萍求出x的值．
（2）参考小萍的思路，探究并解答新问题：
如图2，在△ABC中，∠BAC=30°，AD⊥BC于D，AD=4．请你按照小萍的方法画图，得到四边形AEGF，求△BGC的周长．（画图所用字母与图1中的字母对应）

Answer 1

由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF
∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC
又∵∠BAC=45°
∴∠EAF=90°
又∵AD⊥BC，
∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°
又∵AE=AD，AF=AD，
∴AE=AF
∴四边形AEGF是正方形

现设AD=x，则AE=EG=GF=x
∵BD=2，DC=3
∴BE=2，CF=3
∴BG=x-2，CG=x-3
在Rt△BGC中，BG^2+CG^2=BC^2
∴(x-2)^2+(x-3)^2=5^2
解得x1=6，x2=-1（舍）
所以AD=x=6
(2)
参考小萍的做法得到四边形AEGF，∠EAF=60°，
∠EGF=120°，∠AEG=∠AFG= 90°，AE=AF=AD=4.
连结EF，可得△AEF为等边三角形.
∴EF=4.
∴∠FEG=∠EFG= 30°.
∴ EG=FG.
在△EFG中，可求，EG=4√3/3
∴△BGC的周长＝BG+CG+BC=BG+CG+EB+FC=2EG=8√3/3

Answer 2