Question

已知a，b，c分别是三角形abc的三边，试说明（a²+b²-c²）²-4a²b²<0.

Answer 1

（a²+b²-c²）²-4a²b²
＝(a²+b²+2ab-c²)(a²+b²-2ab-c²)
＝[(a+b)²-c²][(a-b)²-c²]
＝(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)
因为，a、b、c是三角形的三边
任意两边之和大于第三边
任意两边之差小于第三边
所以，
a+b+c>0
a+b-c>0
a-b+c>0
a-b-c<0
即，(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)<0
所以，（a²+b²-c²）²-4a²b²<0

Answer 2

证明：因为a,b,c分别是三角形abc的三边
所以a-b<c
(a-b)^2<c^2
a^2+b^2-2ab<c^2
a^2+b^2-c^2<2ab
(a^2+b^2-c^2)^2<(2ab)^2
(a^2+b^2-c^2)^2<4a^2b^2