Question

已知二次函数f(x)的二项式系数为a，且不等式f(x)>-2x的解集为（1，3）。

（1）若方程f(X)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式
（2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围

Answer 1

设f(x)=ax^2+bx+c

f(x)>-2x等价于f(x)+2x=ax^2+（b+2）x+c>0解集为（1，3）。

ax^2+（b+2）x+c=0解为1,3,

-（b+2）/a=4

c/a=3

则b=-4a-2,c=3a

f(x)=ax^2-(4a+2)x+3a

1. f(X)+6a=ax^2-(4a+2)x+9a=0有两个相等的根

   (4a+2)^2-36a^2=0

   a=1或1/5

   f(x)=x^2-6x+3或f(x)=1/5x^2-14/5x+3/5

2. f(x)有最大值，所以a<0

   由最大值c-b^2/4a>0可得3a-(-4a-2)^2/4a>0

   即a^2+4a+1>0

   a<-2-2√3或a>-2+2√3

   又因为a<0所以a<-2-2√3