Question

设数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+1=2Sn+2（n∈N﹢）,a1=2

1.求数列{an}的通项公式
2.若在an与an+1(n∈N﹢)之间插入n个1，构成如下新数列：a1,1,a2,1,1,a3,1,1,1,a4…，求这个数列的前2012项的和。

Answer 1

解：
1.
a(n+1)=S(n+1)-Sn=2Sn+2
S(n+1)=3Sn+2
S(n+1)+1=3Sn+3=3(Sn+1)
[S(n+1)+1]/(Sn+1)=3，为定值。
S1+1=a1+1=2+1=3
数列{Sn+1}是以3为首项，3为公比的等比数列。
Sn+1=3ⁿ
Sn=3ⁿ-1
n≥2时，an=Sn-S(n-1)=3ⁿ-1-3^(n-1)+1=2×3^(n-1)
n=1时，a1=2×1=1，同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=2×3^(n-1)
2.
a(n+1)/an=2×3ⁿ/[2×3^(n-1)]=3，为定值。
数列{an}是以2为首项，3为公比的等比数列。
分组：
(a1，1)，(a2，1，1)，(a3，1，1，1)，……
第n组有n+1项，首项为an，有n个1。前n组共2+3+...+(n+1)=(n+1)(n+2)/2 -1项
令(n+1)(n+2)/2 -1≤2012
n为正整数，解得n≤61
2012-(62×63/2 -1)=60，即
前2012项的和= 前61组的和+第62组的前60个数
=前62组的和 -2
前2012项和=a1+1+a2+2×1+a3+3×1+...+a62+62×1-2
=(a1+a2+...+a62)+1×(1+2+...+62) -2
=2×(3^62 -1)/(3-1) +62×63/2 -2
=3^62 +1950