一道关于高等数学微分中值定理的证明题目。
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分析:要证明存在一点,使得f'(x)>1,即f'(x)-1>0,而f'(x)-1是f(x)-x的导数,所以可以考虑对F(x)=f(x)-x使用中值定理,找到一个区间[a,b],只要F(b)-F(a)>0即可。
证明:令F(x)=f(x)-x,则F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,F(0)=0,F(1)=0。
f(x)在[0,1]上不恒等于x,所以存在一点η∈(0,1),使得f(η)≠η,即F(η)≠0。
若F(η)>0,则在[0,η]上使用拉格朗日中值定理,则存在一点ξ∈(0,η),使得F'(ξ)=(F(η)-F(0))/η=F(η)/η>0,所以f'(ξ)>1。
若F(η)<0,则在[η,1]上使用拉格朗日中值定理,则存在一点ξ∈(η,1),使得F'(ξ)=(F(1)-F(η))/(1-η)=-F(η)/(1-η)>0,所以f'(ξ)>1。
结论得证。
证明:令F(x)=f(x)-x,则F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,F(0)=0,F(1)=0。
f(x)在[0,1]上不恒等于x,所以存在一点η∈(0,1),使得f(η)≠η,即F(η)≠0。
若F(η)>0,则在[0,η]上使用拉格朗日中值定理,则存在一点ξ∈(0,η),使得F'(ξ)=(F(η)-F(0))/η=F(η)/η>0,所以f'(ξ)>1。
若F(η)<0,则在[η,1]上使用拉格朗日中值定理,则存在一点ξ∈(η,1),使得F'(ξ)=(F(1)-F(η))/(1-η)=-F(η)/(1-η)>0,所以f'(ξ)>1。
结论得证。
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