Question

一道很简单的概率论问题

题目是这样的
一个设备有三个独立的子系统组成，其中两个子系统正常工作时设备就能正常工作，各个子系统正常工作的时间记为X1，X2，X3，且都服从参数为兰姆达的指数分布，求该设备正常工作时间的概率分布函数和概率密度函数。
答案在下面，
我是这样想的，
FT(t)=P(x1<t,x2<t,x3>t)+P(x1<t,x2>t,x3<t)+P(x1>t,x2<t,x3<t)
= P(x1<t,x2<t)+P(x1<t,x3<t)+P(x2<t,x3<t)-3P(x1<t,x2<t,x3<t)
可是答案红色框框那里写的是-2P(x1<t,x2<t,x3<t)
这个2到底怎么来的？

Answer 1

由条件X1 ≤ t, X2 ≤ t, X3 ≤ t所决定的集合同时是前三个集合的子集.
因此在前三项的求和中被计算了三次, 应减去多算的两次.
2就是这么来的.

你计算的概率是恰有两个子系统正常工作的概率.
少算了三个子系统都正常工作的情况.
所以还应加上P(X1 ≤ t, X2 ≤ t, X3 ≤ t), 这样结果就一致了.