Question

已知函数f（x）=sinx/2cosx/2＋√3cos＾2x/2 (1)求方程f(x)=0的解集；（2）如果△ABC的三边a,b,c

满足b＾2=ac,且边b所对的角为x,求角x的取值范围及此时函数f（x）的值域

Answer 1

1)
f（x）=sin(x/2)cos(x/2)＋√3cos²(x/2)
=(sinx)/2＋(√3cosx)/2-1/2
令cos(π/3)=1/2 sin(π/3)=√3/2
∴f（x）=sin(x+π/3)-1/2
f(x)=0
sin(x+π/3)=1/2
x+π/3=2kπ+π/6 →x=2kπ-π/6 ∪x+π/3=2kπ+2π/3→ x=2kπ+π/3
f(x)=0的解集{xix=2kπ-π/6 ∪ x=2kπ+π/3,k∈N+}

2)
由余弦定理得
cosx=(a²+c²-b²)/2ac=(a²+c²-ac)/2ac
由基本不等式得a²+c² ≥ 2ac
(a²+c²-ac)/2ac ≥ ac/2ac=1/2
所以cosx ≥ 1/2
∵x的取值范围是（0，π）

∴x的范围是（0，π/6）

当x的取值范围是（0，π/6）
f（x）=sin(x+π/3)-1/2
f(x)的值域为：(√3/2 - 1/2 ，1/2 )

追问

x+π/3=2kπ+π/6 →x=2kπ-π/6 ∪x+π/3=2kπ+2π/3→ x=2kπ+π/3
f(x)=0的解集{xix=2kπ-π/6 ∪ x=2kπ+π/3,k∈N+}
该段不理解。谢谢

追答

f(x)=0的解集{xix=2kπ-π/6 ∪ x=2kπ+π/3,k∈N+}→这是用集合的形式表达。
∪ →并集的符号→或的意思
x=2kπ-π/6 或 x=2kπ+π/3
k∈N+→N取正整数

这样清楚吧! 祝你学习进步!

Answer 2

1、f(x)=1/2sinx+√3/2cosx+√3/2 = sin(x+π/3)+√3/2 = 0
x = 2kπ -2π/3 （k∈Z）
2、cosx ≥ 1/2 ∴ 0 < x ≤ π/3
f(x)的值域为：[√3/2 - 1 ，√3/2 + 1]

Answer 3

f(x)=1\2sinx+√3\2cosx+√3\2
f(0)=1\2+√3\2

Answer 4

嘿嘿，你题目么抄错把，那个sinx/2cosx/2???

追问

未错