Question

设函数f(x)=1/3mx3+(4+m)x2,g(x)=aln（x-1),其中a≠0 若函数y=g(x)图像恒过定点p，

点p关于直线x=2/3的对称点在y=f（x）的图像上，求m的值

Answer 1

f(x)=1/3mx3+(4+m)x²
函数y=g(x)=aln（x-1),图像恒过定点p
P是与a无关的点，令ln(x-1)=0得x=2
那么P(2,0)
P(2,0)关于直线x=2/3的对称点Q(x',0)
则x'+2=4/3,x'=-2/3
∵Q(-2/3,0)在f(x)图像上
∴1/3m*(-2/3)³+(4+m)*(-2/3)²=0
∴-8/81*m+4/9m+16/9=0
解得m=-36/7

Answer 2

f(x)=1/3mx3+(4+m)x²
函数y=g(x)=aln（x-1),图像恒过定点p
P是与a无关的点，令ln(x-1)=0得x=2
那么P(2,0)
P(2,0)关于直线x=2/3的对称点Q(1,0)
∵Q(1,0)在f(x)图像上

∴1/3m+4+m=0
m=-3

Answer 3

（1）、函数y=g（x）=alnx图像恒过定点P，则点P为（1，0），将点P得坐标代入f（x）=（1/3）mx³+(4+m)x²，即m/3+（4+m）=0，解得：m=-3。
（2）、f’（x）=mx²+2（4+m）x，所以F（x）=f’（x）+g（x）=mx²+2（4+m）x+8lnx；
F‘（x）=2mx+2（4+m）+8/x=2（m+4/x）（x+1）；
令F’（x）=0，得：x=-1，x=-4/m；
m<0时，x在（﹣无穷，-1）和（0，-4/m）区间，F’（x）>0，F（x）为单调增函数。
x在（-1，0）和（-4/m，+无穷）区间，F’（x）<0，F（x）为单调减函数。
0<m<4时，x在（﹣无穷，-4/m）和（-1，0）区间，F’（x）<0，F（x）为单调减函数。
x在（-4/m，-1）和（0，+无穷）区间，F’（x）>0，F（x）为单调增函数。
m>4时，x在（﹣无穷，-1）和（-4/m，0）区间，F’（x）<0，F（x）为单调减函数。
x在（-1，-4/m）和（0，+无穷）区间，F’（x）>0，F（x）为单调增函数。
（3）、G（x）=f（x）=x²-x³，（x≤1）；G（x）=g(x)=alnx，（x>1）；
假设存在两点P（s，t）在f（x）上，Q（u，v）在g(x)上符合题目要求，则根据题意有：
t=s²-s³；v=alnu；-s=u；v/u*t/s=-1；解得：a=1/（1+u）lnu；
u>1，所以，a>0。