Question

【请教数学】已知函数f（x)=Inx-1/2ax^2-2x (a<0) (1)若f（x）存在单调递减区间 求a的取值范围

我看过知道里的其他解答。说答案是a<=-1
可是我觉得题干问的是 “存在单调递减区间”
按照知道里
“′(x)=1/x -a x-2, 若f（x）存在单调递减区间,则在（0,+∞）上f′(x)≤0，
∴a ≥1/x²-2/x=(1/x -1)²-1≥-1
即a∈[-1+∞)“
的解答，应该是在题设f(x)就是减函数的前提下解出来的啊、。。

既然是存在，我觉得应该有增有减吧。。然后就不会解了。。

Answer 1

存在递减区间，可以有增有减，也可以均是递减的。

f（x)=Inx-1/2ax^2-2x (a<0)
f'(x)=1/x-ax-2
∵存在递减区间
∴存在x>0使得f'(x)<0,(应该将等号去掉的)
即1/x-ax-2<0
即存在x>0使得 a>1/x²-2/x 成立
∵ 1/x²-2/x =(1/x -1)²-1≥-1
∴a>-1
【当a=-1时，f'(x)=(x²-2x+1)/x=(x-1)²/x≥0恒成立
f(x)为增函数，不存在递减区间了】
∴a∈（-1，+∞)

追问

按照您说的，那么也应该考虑有增有减的情况啊

可是您的答题过程上还是只按照f(x)就是减函数的思路答得，这样得出来的结果是f(x)只减不增的啊。

追答

只减不增应该
a>1/x²-2/x 恒成立的
即a>(1/x²-1/x)max
这是不可能的，(1/x²-1/x)max不存在的

本题是a>1/x²-2/x 存在性成立，
只需a>(1/x²-1/x)min

(1/x²-1/x)min=-1
∴a>-1

Answer 2

自己慢慢想啊，很简单的啊