Question

定积分的对称性

为什么可以吧[0,2π]写为4[0，π/2]，如何看此函数的对称性，求解析

Answer 1

我告诉你考研方法：
(1) t→-t,x→x,y→-y:函数关于x轴对称；
(2) t→π-t,x→-x,y→y:函数关于y轴对称；

(3) t→t+π,x→-x,y→-y:函数关于原点对称；

明白了吗，t转一周，函数图像是关于x轴、y轴、原点对称的，所以只需计算[0，π/2]，然后乘以4即可。做题要多思考，千万不要成为做题的奴隶，掌握方法比作100道题还重要，考试是考一个人的数学思维，而不是考一个人的做题数量

追问

怎么看出周期是π/2的呢？

追答

周期不是π/2！你没理解[0，2π]为什么只需计算[0，π/2]，函数在[π/2，π]的积分值肯定和[0，π/2]一样，这里“一样”指的是积分值一样，并不是函数性质一样！
在[π，3π/2]，[3π/2，2π]的积分值同样和在[0，π/2]的积分值一样。

为什么取[0，π/2]？这里指取一个“完整的象限”，并没有其他含义，更不是函数在[0，π/2]有什么特别之处。你完全可以取第二、第三、第四象限

还有，如果题要计算函数的面积，肯定是0

Answer 2

也就是整个的弧长是其图像在第一象限弧长的4倍。

追问

我知道这么个理论，但是从这个题中，在没有答案解析的情况下怎么判断出来？

追答

根据弧长的积分部分，根号内部都是平方，根号为是|sintcost|的绝对值，所以无论t是哪个象限的角，其展开结果都是一样，所以只需算一个象限即可。