Question

急求解答：已知关于x的不等式(x^2-2x-24)[x^2-(2a+6)x+(a^2+6a)]<0恰有3个整数解,求实数a的取值范围.

快点哪……

Answer 1

(x²-2x-24)[x²-(2a+6)x+(a²+6a)]<0
<==>(x-6)(x+4)(x-a)(x-a-6)<0
因为a+6<2或a>0题意不成立
所以符合题意的a集合为[-4,0]的真子集
当a=-4时，(x-6)(x+4)(x-a)(x-a-6)<0<==>(x-6)(x-2)(x+4)²<0 <==> 2<x<6 符合题意
当a=0时，(x-6)(x+4)(x-a)(x-a-6)<0 <==>(x-6)²(x+4)x<0 <==> -4<x<0 符合题意
当-4<a<0时，因为-4<a<a+6<6
所以(x-6)(x+4)(x-a)(x-a-6)<0 <==> -4<x<a或a+6<x<6
当3个整数值均在-4到a之间时，-4<a<0符合题意
当2个整数值在-4到a之间时，-4<a<-1符合题意
当1个整数值在-4到a之间时，-4<a<-2符合题意
当0个整数值在-4到a之间时，-4<a<-3符合题意

综上所述a的取值范围为[-4，-3)∪(-3，-2)∪(-2，-1)∪(-1，0]