Question

若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值

若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值，则（ ）.

（A）极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值；

（B）极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值；

（C）极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值；

（D）极大值必大于极小值 .

答案是C 为什么D是错的？？？？？

Answer 1

呵呵，首先极值和极值点不一样，你这题是要求有唯一的极大值和极小值，这样D就能很容易判断出是错的，因为很容易举出极大值和极小值可以相等的例子：
f(x)为常值函数，f(x)≡c，x∈[a,b]，则f(x)的极大值为c，极小值为c，极大值=极小值。
又例如：f(x)=x+1 (x∈[-2,-1])，f(x)=0 (x∈[-1,1])，f(x)=x-1 (x∈[1,2])，
f(x)在[-2,2]上连续，且有唯一的极大值和极小值，极大值=极小值=0.
从图像上来讲，只要函数图像从左到右先上升后持平再上升(或先下降后持平再下降)，即能使唯一的极大值和极小值相等。

如果这题是说有唯一的极大值点和极小值点，那就麻烦了。
你会直观上感觉上是对的，主要是因为你画图像分析时会自然的将这个连续函数也看成了可导函数。但是证明又不好证明，其实极大值也不一定大于极小值。
数学家魏尔斯特拉斯在19世纪给出了一个处处连续却处处不可导，且没有单调区间的函数：
魏尔斯特拉斯函数，f(x)=∑(0_∞)a^ncos(b^nπx)，其中0<a<1，b为正奇数，使得ab>1+3π/2.
这时，我们可以用上，举出在闭区间上有唯一的极大值和极小值的连续函数的极大值不大于极小值的反例：
f(x)=x+1 (x∈[-3,-2])，
f(x)=-x-3 (x∈[-2,-1])，
f(x)=∑(0_∞)(1/2)^ncos(12^nπx) (x∈[-1,0])，
f(x)=2-x (x∈[0,1])，
f(x)=x (x∈[1,2])，
可以证明f(x)在[-3,2]上是连续的，f(x)在x=-2处有极大值f(-2)=-1，f(x)在x=1处有极小值f(1)=1，
除此之外f(x)没有极值了，而-1<1，也就是极大值小于极小值。

Answer 2

因为极大值与极小值都是在某一小的区间内定义的，一个函数可能不止一个极值，有可能某个极小值就会大于某个极大值
这个很容易举出例子来的，自己在纸上画曲线，弯来弯曲的，没人能保证某个“波峰”就一定高于所有的“波谷”

Answer 3

看看算不算D的解释？

Answer 4

如果极大值在左边 ，极大值向右有一段函数值不变，就是函数图像和x轴平行，此时没有极值，再往右向上，再来一段函数值不变的直线，再下降产生极小值，此时极小值可能大于极大值。 答案补充 极值点其实就是拐点，此时极大值=极小值，是唯一的值啊

Answer 5

c这是导数问题 答案补充 我只是高一的学生 答案补充 我终于查到了
极大值就是波峰的Y值，极小值就是波谷的Y值