Question

高中数学求解，谢谢！

在三角形ABC中，A，B为定点，C为动点，记角A，角B，角C的对边分别为a，b，c。已知c=2，abcos^2（C／2）=1，证明动点C一定在某个椭圆上，并求出该椭圆的标准方程

Answer 1

解答：
abcos^2（C／2）=1
∴ ab*(1+cosC)/2=1
∴ ab+abcosC=2
∵ c²=a²+b²-2abcosC
∴ 4=a²+b²-2(2-ab)
∴ 8=a²+b²+2ab
即 (a+b)²=8
∴ a+b=2√2
即 C到A的距离与C到B的距离之和是常量2√2(大于2）
利用椭圆的定义，C的轨迹是椭圆
2a=2√2， 2c=2
∴ a=√2，c=1
∴ b²=1
∴ 椭圆方程是x²/2+y²=1（A,B在x轴上）
或 椭圆方程是y²/2+x²=1（A,B在y轴上）