Question

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,∠EDF=90°,DE交AC于E,DF交BC于F.

（1）如图，当AC=BC，EF与AB不平行时，EF、AE、BF的数量关系为_____（并证明）;
（2）如图，当AC≠BC，EF与AB不平行时，试确定EF、AE、BF的数量关系，并加以证明.

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Answer 1

解：（1）AE2+BF2=EF2，理由为：
连接CD，
∵AC=BC，∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AD=BD=1/2AB
∠A=∠DCF=45°，
∵∠ADE+∠CDE=90°，
又∠EDF=90°，
∴∠EDC+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
∠A=∠DCF=45°AD=CD∠ADE=∠CDF
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，又AC=BC，
∴AC-AE=BC-CF，即CE=BF，
在Rt△CEF中，根据勾股定理得：CE2+CF2=EF2，
则AE2+BF2=EF2；
（2）如图（2）当DE不与AC垂直时（1）的结论成立，理由为：
连接CD，
∵AC=BC，∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AD=BD=1/2AB
∠A=∠DCF=45°，
∵∠ADE+∠CDE=90°，
又∠EDF=90°，
∴∠EDC+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
∠A=∠DCF=45°AD=CD∠ADE=∠CDF
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，又AC=BC，
∴AC-AE=BC-CF，即CE=BF，
在Rt△CEF中，根据勾股定理得：CE2+CF2=EF2，
则AE2+BF2=EF2；