Question

AB为圆O的直径，CD与圆O相切于点C，且OD⊥BC，垂足为F，OD交圆O于E点

AB为圆O的直径，CD与圆O相切于点C，且OD⊥BC，垂足为F，OD交圆O于E点（1）证明弧EB=弧CE（2）∠D=∠AEC（3）若圆O的半径为5，BC=8，求△CDE的面积

Answer 1

（1）证明：（如图）
∵OD⊥BC
∴FB=FC（过圆心垂直于弦的直径平分该弦）
∴弧EB=弧CE（垂直于弦的直径平分该弦所对的弧）
（2）证明：
∵OD⊥BC      　　　 OB=OC
∴∠1=∠2
∠D和∠1互余                 ∠B 和∠ 2互余   
 ∴ ∠D= ∠B
而∠B=∠AEC（在同圆中同弧所对的圆周角相等）
∴∠D=∠AEC
（3）解：
∵OC=OE=5            CF=1/2BC=8÷2=4
∴OF=3
S△OCE=OE×CF÷2=5×4÷2=10
在Rt△OCD   根据射影定理有
OC×OC=OF×OD
5×5=3×OD
得OD=25/3
∴S△OCD=CF×OD÷2
                  =4×25/3÷2
                  =50/3
于是△CDE的面积 =S△OCD－S△OCE
                                 =50/3－10
                                 =20/3

Answer 2

（1）证明：连接OC，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD=90°．
∴∠OCB+∠DCF=90°．
∵∠D+∠DCF=90°，
∴∠OCB=∠D，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B，
∵∠B=∠AEC，
∴∠D=∠AEC．

（2）解：在Rt△OCF中，OC=5，CF=4，
∴OF=OC2-CF2=52-42=3．
∵∠COF=∠DOC，∠OFC=∠OCD，
∴Rt△OCF∽Rt△ODC．
∴ODOC=OCOF，即OD=OC2OF=523=253．
∴DE=OD-OE=253-5=103．
∴S△CDE=12�6�1DE�6�1CF=12×103×4=203．

Answer 3

圆O中OD丄BC，垂径定理得CE弧=EB。角DFC=90；CD是切线，角DCO=90，D=90-DCB=BCO；OB=OC，角BCO=B；AC弧对二角B=AEC；传递代换得角D=AEC。三角形DCO相似CFO，DC:CO=CF:FO，DC=20/3，三角形面积SDCE=SDCO-SECO=（DCxCO-OExCF)/2=（5x20/3-5x4）/2=40/3。