Question

数列an满足a1=1,a2=2

求详解~谢蛤·~~

Answer 1

（1）
∵cosnπ=2cos²(nπ/2)-1=1-sin²(nπ/2)
∴a<n+2>=[1+cos²（nπ/2）]an+sin²(nπ/2)
=(1+1/2+1/2cosnπ)an+1/2-1/2cosnπ
=½[(3+cosnπ)an+(1-cosnπ)]
①当n为奇数时，cosnπ=-1，可得
a<n+2>=½[(3-1)an+(1+1)]=an+1
即a<n+2>-an=1 （n为奇数），从而有
an-a<n-2>=1
a<n-2>-a<n-4>=1
……
a5-a3=1
a3-a1=1
叠加，得
an-a1=(n-1)/2 （以上有（n-1)/2项叠加 ）
所以an=a1+(n-1)/2=1+(n-1)/2=(n+1)/2
②当n为偶数时cosnπ=1，可得
a<n+2>=½[(3+1)an+(1-1)]=2an
即a<n+2>/an=2 （n为偶数），从而有
an/a<n-2>=2
a<n-2>/a<n-4>=2
……
a6/a4=2
a4/a2=2
累乘，得
an/a2=2^(n/2-1) （以上有n/2-1项相乘 ）
所以an=a2*2^(n/2-1) =2*2^(n/2-1)=2^(n/2)
所以通向公式为
｛（n+1）/2 （n为奇数）
an=
｛ 2^(n/2) （n为偶数）

a3=(3+1)/2=2 a4=2^(4/2) =4

（2）
∵2n-1为奇数 2n为偶数
∴bn=a<2n-1>/a2n=[(2n-1+1)/2]/[2^(2n/2)]=n/2^n
Sn=1*(1/2)+2*(1/2)^2+……+n*(1/2)^n
½*Sn = 1*(1/2)^2+……+(n-1)*(1/2)^n+n*(1/2)^(n+1)
两式相减得
½Sn=1/2+(1/2)^2+……+(1/2)^n-n*(1/2)^(n+1)
=(1/2)*[1-(1/2)^n]/(1-1/2)-n*(1/2)^(n+1)
=1-(1/2)^n-n*(1/2)^(n+1)
所以Sn=2-2*(1/2)^n-2n*(1/2)^(n+1)
=2-2*(1/2)^n-n*(1/2)^n
=2-(n+2)*(1/2)^n