求10道八上数学竞赛题，要求有详细解答过程以及答案
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第十八届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第2试2007年4月15 上午8：30至10：30 得分________一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分），以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内．1．红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图?所示，红丝带重叠部分形成的图形是（ ）． （A）正方形 （B）矩形 （C）菱形 （D）梯形2．设a，b，c是不为零的实数，那么x= 的值有（ ） （A）3种 （B）4种 （C）5种 （D）6种3．△ABC的边长分别是a=m2-1，b=m2+1，c=2m（m>0），则△ABC是（ ） （A）等边三角形 （B）钝角三角形 （C）直角三角形 （D）锐角三角形4．古人用天干和地支记次序，其中天干有10个：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸．地支有12个：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字对应排列成如下两行： 甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁…… 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥…… 从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅……，我国的农历纪年就是按这个顺序得来的，如公历2007年是农历丁亥年，那么从今年往后，农历纪年来甲亥年的哪一个在公历中（ ） （A）是2019年 （B）是2031年 （C）是2043年 （D）没有对应的年号5．实数a，b，m，n满足a<b，-1<n<m，若M= ，则M与N的大小关系是（ ） （A）M>N （B）M=N （C）M<N （D）无法确定的
6．若干个正方形和等腰直角三角形拼接成如图所示的图形，若最大的正方形的边长是7cm，则正方形A，B，C，D的面积和是（ ）（A）14cm2 （B）42cm2 （C）49cm2 （D）64cm2 7．已知关于x的不等式组 恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ） （A） ≤a≤ （B） ≤a≤ （C） <a≤ （D） ≤a< 8．The number of intersection point of the graths of function y= andfunction y=kx（k≠0） is （ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）0 or 2
9．某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系近似满足如图3所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0．25毫克时，治疗有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为（ ）（A）16小时 （B）15 小时 （C）15 小时 （D）17小时10．某公司组织员工到公园划船，报名人数不足50人，在安排乘船时发现，每只船坐6人，就剩下18人无船可乘，每只船坐10人，那么其余的船坐满后，仅有一只船不空也不满．参加划船的员工共有（ ） （A）48人 （B）45人 （C）44人 （D）42人二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）11．已知a，b，c为△ABC三边的长，则化简│a+b+c│+ 的结果是________．12．自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新科学，这就是“纳米技术”．已知1毫米=1000微米，1微米=1000纳米，那么2007纳米的长度用科学记数法表示为_________米．13．若不等式组 中的未知数x的取值范围是-1<x<1，那么（a+1）（b-1）的值等于_______．14．已知a1，a2，a3，…，a2007是彼此互不相等的负数，且 M=（a1+a2+…+a2007）（a2+a3+…+a2007），N=（a1+a2+…+a2007）（a2+a3+…+a2007），那么M与N的大小关系是M______N．15. 叫做二阶行列式，它的算法是：ad-bc，将四个数2，3，4，5排成不同的二阶行列式．则不同的计算结果有______个，其中，数值最大的是________．
16．如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7米．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3米，木板顶端向下滑动了0.9米，则小猫在木板上爬动了_________米．17．Xiao Ming says to Xiao Hua that my age add yuor age．add your agewhen I was your agg is 48．The age of Xiao Hua is______now． （英汉词典：age 年龄；add 加上；when 当……时）18．长方体的长、宽、高分别为正整数a，b，c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，那么这个长方体的体积为________．19．已知a为实数，且a+2 与 -2 都是整数，则a的值是_________．20．为确保信息安全，信息传输需加密，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．现规定英文26个字母的加密规则是：26个字母按顺序分别对应整数0到25，例如：英文a，b，c，d，写出它们的明文（对应整数0，1，2，3），然后将这4个字母对应的整数（分别为x1，x2，x3，x4）按x1+2x2，3x2，x3+2x4；3x4计算，得到密文，即a，b，c，d四个字母对应的密文分别是2，3，8，9．现在接收方收到的密文为35，42，23，12，则解密得到的英文单词为_________．三、解答题（本大题共3小题，共40分），要求：写出推算过程．21．（本题满分10分） 如图，一个大的六角星形（粗实线）的顶点是周围六个全等的小六角星形（细实数）的中心，相邻的两个小六角星形各有一个公共顶点，如果小六角星形的顶点C到中心A的距离为a，求： （1）大六角星形的顶点A到其中心O的距离； （2）大六角星形的面积； （3）大六角星形的面积与六个小六角星形的面积之和的比值．（注：本题中的六角星形由12个相同的等边三角形拼接而成）． 22．（本题满分15分） 甲、乙两车分别从A地将一批物品运往B地，再返回A地，图6表示两车离A地的距离s（千米）随时间t（小时）变化的图象，已知乙车到达B地后以30千米/小时的速度返回，请根据图象中的数据回答： （1）甲车出发多长时间后被乙车追上？ （2）甲车与乙车在距离A地多远处迎面相遇？（3）甲车从A地返回的速度多大时，才能比乙车先回到A地？ 23．（本题满分15分） 平面上有若干个点，其中任意三点都不在同一直线上，将这些点分成三组，并按下面的规则用线段连接：①在同一组的任意两点间都没有线段连接；②不在同一组的任意两点间一定有线段连接． （1）若平面上恰好有9个点，且平均分成三组，那么平面上有多少条线段？ （2）若平面上恰好有9个点，且点数分成2，3，4三组，那么平面上有多少条线段？ （3）若平面上共有192条线段，那么平面上至少有多少个点？ 第十八届“希望杯”全国数学邀请赛参考答案及评分标准初二 第2试一、选择题（每小题4分） 1．C 2．B 3．C 4．D 5．A 6．C 7．B 8．D 9．C 10．A二、填空题（每小题4分，第15小题，每个空2分，第19小题，答对一个答案2分） 11．2c 12．2.007×10-4 13．-6 14．> 15．6;14 16．2.5 17．16 18．888 19．5-2 或-5-2 20．hope三、解答题21．（1）连结CO，易知 △AOC是直角三角形， ∠ACO=90°，∠AOC=30°， 所以AO=2AC=2a． （3分）（2）如图，大六角星形的面积是等边△AMN面积的12倍． 因为AM2= ， 解得AM= a． 所以大六角星形的面积是 S=12× × a×a=4 a2． （7分） （3）小六角星形的顶点C到其中心A的距离为a，大六角星形的顶点A到其中心O的距离为2a，所以大六角星形的面积是一个小六角星形的面积的4倍，所以 大六角星形的面积：六个小六角星形的面积和=2：3 （10分）22．（1）由图知，可设甲车由A地前往B地的函数解析式为 s=kt， 将（2．4，48）代入，解得k=20． 所以 s=20t． （2分） 由图2可知，在距A地30千米处，乙车追上甲车，所以当s=30千米时， t= =1.5（小时）．即甲车出发1.5小时后被乙车追上． （5分） （2）由图知，可设乙车由A地前往B地的函数的解析式为s=pt+m， 将（1.0，0）和（1.5，30）代入，得 所以s=60t-60． （7分） 当乙车到达B地时，s=48千米， 代入s=60t-60，得t=1.8小时． 又设乙车由B地返回A地的函数的解析式为s=-30t+n， 将（1.8，48）代入，得48=-30×1.8+n， 解得 n=102， 所以 s=-30t+102． （9分） 当甲车与乙车迎面相遇时，有-30t+102=20t， 解得 t=2.04小时， 代入s=20t，得s=40.8千米． 即甲车与乙车在距离A地40.8千米处迎面相遇． （12分） （3）当乙车返回A地时，有-30t+102=0， 解得 t=3.4小时． 甲车要比乙车先回到A地，速度应大于 =48（千米/小时）． （15分）23．（1）平面上恰好有9个点，且平均分成三组，每组3个点，其中每个点可以与另外两组的6个点连接，共有线段 =27（条）． （5分） （2）若平面上恰好有9个点，且点数分成2，3，4三组，则平面上共有线段 [2×（3+4）+3×（2+4）+4×（2+3）]=26（条）． （10分） （3）设第一组有a个点，第二组有b个点，第三组有c个点，则平面上共有线段 [a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）]=ab+bc+ca（条）． 若保持第三组点数不变，将第一组中的一个点划归到第二组，则平面上线段的条数为 （a-1）（b+1）+（b+1）c+（a-1）c=ab+bc+ca+a-b-1． 与原来线段的条数的差是a-b-1，即 当a>b时，a-b-1≥0时，此时平面上的线段条数不减少； 当a≤b时，a-b-1<0，此时平面上的线段条数一定减少． 由此可见，当平面上由点数较多的一组中划出一个点到点数较少的一组中时，平面上的线段条数不减少，所以当三组中点数一样多（或基本平均）时，平面上线段的条数最多．（13分） 设三组中都有x个点，则线段条数为 3x2=192，解得x=8． 所以平面上至少有24个点． （15分） (有的题目复制不完全，如果需要，我可以发到您的邮箱）
6．若干个正方形和等腰直角三角形拼接成如图所示的图形，若最大的正方形的边长是7cm，则正方形A，B，C，D的面积和是（ ）（A）14cm2 （B）42cm2 （C）49cm2 （D）64cm2 7．已知关于x的不等式组 恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ） （A） ≤a≤ （B） ≤a≤ （C） <a≤ （D） ≤a< 8．The number of intersection point of the graths of function y= andfunction y=kx（k≠0） is （ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）0 or 2
9．某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系近似满足如图3所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0．25毫克时，治疗有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为（ ）（A）16小时 （B）15 小时 （C）15 小时 （D）17小时10．某公司组织员工到公园划船，报名人数不足50人，在安排乘船时发现，每只船坐6人，就剩下18人无船可乘，每只船坐10人，那么其余的船坐满后，仅有一只船不空也不满．参加划船的员工共有（ ） （A）48人 （B）45人 （C）44人 （D）42人二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）11．已知a，b，c为△ABC三边的长，则化简│a+b+c│+ 的结果是________．12．自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新科学，这就是“纳米技术”．已知1毫米=1000微米，1微米=1000纳米，那么2007纳米的长度用科学记数法表示为_________米．13．若不等式组 中的未知数x的取值范围是-1<x<1，那么（a+1）（b-1）的值等于_______．14．已知a1，a2，a3，…，a2007是彼此互不相等的负数，且 M=（a1+a2+…+a2007）（a2+a3+…+a2007），N=（a1+a2+…+a2007）（a2+a3+…+a2007），那么M与N的大小关系是M______N．15. 叫做二阶行列式，它的算法是：ad-bc，将四个数2，3，4，5排成不同的二阶行列式．则不同的计算结果有______个，其中，数值最大的是________．
16．如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7米．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3米，木板顶端向下滑动了0.9米，则小猫在木板上爬动了_________米．17．Xiao Ming says to Xiao Hua that my age add yuor age．add your agewhen I was your agg is 48．The age of Xiao Hua is______now． （英汉词典：age 年龄；add 加上；when 当……时）18．长方体的长、宽、高分别为正整数a，b，c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，那么这个长方体的体积为________．19．已知a为实数，且a+2 与 -2 都是整数，则a的值是_________．20．为确保信息安全，信息传输需加密，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．现规定英文26个字母的加密规则是：26个字母按顺序分别对应整数0到25，例如：英文a，b，c，d，写出它们的明文（对应整数0，1，2，3），然后将这4个字母对应的整数（分别为x1，x2，x3，x4）按x1+2x2，3x2，x3+2x4；3x4计算，得到密文，即a，b，c，d四个字母对应的密文分别是2，3，8，9．现在接收方收到的密文为35，42，23，12，则解密得到的英文单词为_________．三、解答题（本大题共3小题，共40分），要求：写出推算过程．21．（本题满分10分） 如图，一个大的六角星形（粗实线）的顶点是周围六个全等的小六角星形（细实数）的中心，相邻的两个小六角星形各有一个公共顶点，如果小六角星形的顶点C到中心A的距离为a，求： （1）大六角星形的顶点A到其中心O的距离； （2）大六角星形的面积； （3）大六角星形的面积与六个小六角星形的面积之和的比值．（注：本题中的六角星形由12个相同的等边三角形拼接而成）． 22．（本题满分15分） 甲、乙两车分别从A地将一批物品运往B地，再返回A地，图6表示两车离A地的距离s（千米）随时间t（小时）变化的图象，已知乙车到达B地后以30千米/小时的速度返回，请根据图象中的数据回答： （1）甲车出发多长时间后被乙车追上？ （2）甲车与乙车在距离A地多远处迎面相遇？（3）甲车从A地返回的速度多大时，才能比乙车先回到A地？ 23．（本题满分15分） 平面上有若干个点，其中任意三点都不在同一直线上，将这些点分成三组，并按下面的规则用线段连接：①在同一组的任意两点间都没有线段连接；②不在同一组的任意两点间一定有线段连接． （1）若平面上恰好有9个点，且平均分成三组，那么平面上有多少条线段？ （2）若平面上恰好有9个点，且点数分成2，3，4三组，那么平面上有多少条线段？ （3）若平面上共有192条线段，那么平面上至少有多少个点？ 第十八届“希望杯”全国数学邀请赛参考答案及评分标准初二 第2试一、选择题（每小题4分） 1．C 2．B 3．C 4．D 5．A 6．C 7．B 8．D 9．C 10．A二、填空题（每小题4分，第15小题，每个空2分，第19小题，答对一个答案2分） 11．2c 12．2.007×10-4 13．-6 14．> 15．6;14 16．2.5 17．16 18．888 19．5-2 或-5-2 20．hope三、解答题21．（1）连结CO，易知 △AOC是直角三角形， ∠ACO=90°，∠AOC=30°， 所以AO=2AC=2a． （3分）（2）如图，大六角星形的面积是等边△AMN面积的12倍． 因为AM2= ， 解得AM= a． 所以大六角星形的面积是 S=12× × a×a=4 a2． （7分） （3）小六角星形的顶点C到其中心A的距离为a，大六角星形的顶点A到其中心O的距离为2a，所以大六角星形的面积是一个小六角星形的面积的4倍，所以 大六角星形的面积：六个小六角星形的面积和=2：3 （10分）22．（1）由图知，可设甲车由A地前往B地的函数解析式为 s=kt， 将（2．4，48）代入，解得k=20． 所以 s=20t． （2分） 由图2可知，在距A地30千米处，乙车追上甲车，所以当s=30千米时， t= =1.5（小时）．即甲车出发1.5小时后被乙车追上． （5分） （2）由图知，可设乙车由A地前往B地的函数的解析式为s=pt+m， 将（1.0，0）和（1.5，30）代入，得 所以s=60t-60． （7分） 当乙车到达B地时，s=48千米， 代入s=60t-60，得t=1.8小时． 又设乙车由B地返回A地的函数的解析式为s=-30t+n， 将（1.8，48）代入，得48=-30×1.8+n， 解得 n=102， 所以 s=-30t+102． （9分） 当甲车与乙车迎面相遇时，有-30t+102=20t， 解得 t=2.04小时， 代入s=20t，得s=40.8千米． 即甲车与乙车在距离A地40.8千米处迎面相遇． （12分） （3）当乙车返回A地时，有-30t+102=0， 解得 t=3.4小时． 甲车要比乙车先回到A地，速度应大于 =48（千米/小时）． （15分）23．（1）平面上恰好有9个点，且平均分成三组，每组3个点，其中每个点可以与另外两组的6个点连接，共有线段 =27（条）． （5分） （2）若平面上恰好有9个点，且点数分成2，3，4三组，则平面上共有线段 [2×（3+4）+3×（2+4）+4×（2+3）]=26（条）． （10分） （3）设第一组有a个点，第二组有b个点，第三组有c个点，则平面上共有线段 [a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）]=ab+bc+ca（条）． 若保持第三组点数不变，将第一组中的一个点划归到第二组，则平面上线段的条数为 （a-1）（b+1）+（b+1）c+（a-1）c=ab+bc+ca+a-b-1． 与原来线段的条数的差是a-b-1，即 当a>b时，a-b-1≥0时，此时平面上的线段条数不减少； 当a≤b时，a-b-1<0，此时平面上的线段条数一定减少． 由此可见，当平面上由点数较多的一组中划出一个点到点数较少的一组中时，平面上的线段条数不减少，所以当三组中点数一样多（或基本平均）时，平面上线段的条数最多．（13分） 设三组中都有x个点，则线段条数为 3x2=192，解得x=8． 所以平面上至少有24个点． （15分） (有的题目复制不完全，如果需要，我可以发到您的邮箱）
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