Question

证明不等式是什么时候要论证等号的成立

比如说“若a,b,c为正实数，且a*b+b*c+c*a=0,用柯西不等式证明a+b+c大于等于根号三”时不用证明何时等号成立；
而“已知a,b为正实数，求证1\a+1\b大于等于4\(a+b)"时要论证a,b,c取何值时才有等号成立？

Answer 1

第一题打错了吧, 应该是ab+bc+ca = 1.

就这两道题来说都不用讨论等号成立.
不管用什么方法, 只要证出来a+b+c ≥ √3与1/a+1/b ≥ 4/(a+b)即可.

如果题目本身要求讨论等号成立条件, 当然没话说.
如果没有这个要求, 那就不用讨论.
不过多数题目都是可以取到等号的, 如果多步放缩中等号不能同时成立, 那就放过了.
因此等号成立条件常常为放缩指明方向.

另外, 如果第一题换个说法, 要求a+b+c的最小值, 那就要验证等号能够成立.
因为最小值是需要能够取到的.
如果放缩过了, 例如由4a²+b² ≥ 4ab, 4b²+c² ≥ 4bc, 4c²+a² ≥ 4ca,
得到5(a²+b²+c²) ≥ 4(ab+bc+ca) = 4, 于是(a+b+c)² = a²+b²+c²+2(ab+bc+ca) ≥ 4/5+2 = 12/5.
证出来a+b+c ≥ 2√15/5, 虽然结论是正确的, 但2√15/5不是最小值, 因为等号不能成立.
不过求最值的问题一般不用讨论所有取等情况, 除非题目要求求出所有最值点(有时不唯一).