Question

高二椭圆问题

设F1F2分别是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的左右焦点其右焦点是直线y=x-1与x轴的交点，短轴的长是焦距的2倍，是否存在过点A（5,0）的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，使得|F2C|=|F2D|若存在求直线l的方程要答案在线等

Answer 1

易求得右焦点为F2(1,0)，∴c=1
短轴长是焦距的2倍，即有 b=2c=2
∴a=√(b^2+c^2)=√5
∴椭圆方程为 x^2/5+y^2/4=1
设过点A(5,0)的直线方程为 y=k(x-5)
代入椭圆，可得
x^2/5+k^2(x-5)^2/4=1，整理得
(4+5k^2)x^2-50k^2x+125k^2-20=0
设交点为C(x1,y1),D(x2,y2)
则由韦达定理，有
x1+x2=50k^2/(4+5k^2),
y1+y2=k(x1+x2-10)=-40k/(4+5k^2),
|F2C|=|F2D| => F2C^2=F2D^2
(x1-1)^2+y1^2=(x2-1)^2+y2^2
(x1-x2)(x1+x2-2)+(y1-y2)(y1+y2)=0
(x1+x2-2)/(y1+y2)=-(y1-y2)/(x1-x2)
代入韦达定理结果，可得
[50k^2/(4+5k^2)-2]/[-40k/(4+5k^2)]=-k
整理可得 -8=0
此方程显然不成立，即k无解
∴不存在过A(5,0)的直线，使得|F2C|=|F2D|

Answer 2

 

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Answer 3