Question

已知a>b>0,a²+16/b(a-b)最小值

Answer 1

a＞b＞0， 即 a＞0,a-b＞0。
于是 b(a-b)≤[(b+a-b)/2]^2 = a^2/4 (当且仅当 b = a-b = a/2 时取等号),
故 16/b(a-b)≥16/(a^2/4 )= 64/a^2,
则 a^2 + 16/b(a-b)≥a^2 + 64/a^2 ≥ 2* 根号下(a^2*64/a^2)= 16 (当且仅当 a^2 = 64/a^2 即 a=2倍根号2 时取等号)。
所以 当 a=2倍根号2，b=根号2 时，a^2 + 16/b(a-b) 取最小值 16。

Answer 2

令a-b=t,a²+16/b(a-b)=（b+t)^2 + 16/bt =b^2+2bt+t^2 +16/bt>=4bt+16/bt(当且仅当b=t取等号）>=2根号（4bt* 16/bt)=16(当且仅当bt=4取等号）即a=4,b=2,t=2 取等号。