Question

数列｛an｝满足an=2an-1+2^n+1（n＞1，n属于N），a3=27

（1）求a1，a2的值（2）记bn=1/2^n（an+t）（n属于N*），是否存在一个实数t，使数列｛bn｝为等差数列？若存在，求出实数t，若不存在，请说明理由（3）求数列｛an｝的前n项和Sn

Answer 1

1)an=2a(n-1)+2^n+1a3=2a2+2^3+1=2a2+9=27, ∴a2=9a2=2a1+2^2+1=2a1+5=9, ∴a1=22)an=2a(n-1)+2^n+1∴an+1=2a(n-1)+2+2^n=2[a(n-1)+1]+2^n两边同除2^n得 (an+1)/2^n=[a(n-1)+1]/2^(n-1)+1∴t=1时, bn=b(n-1)+1,b1=(a1+1)/2=3/2,此时{bn}是首项为3/2公差为1的等差数列3)bn=(3/2)+(n-1)=n+1/2∴(an+1)/2^n=n+1/2=(2n+1)/2∴an+1=(2n+1)×2^(n-1), an=(2n+1)×2^(n-1)-1Sn=3×2^0+5×2^1+...+(2n+1)×2^(n-1)-n①2Sn=3×2^1+5×2^2+...+(2n+1)×2^n-2n②②-①得 Sn=-3×2^0-2×2^1-2×2^2-...-2×2^(n-1)+(2n+1)×2^n-n∴Sn=-1-2-2^2-2^3-...-2^n+(2n+1)×2^n-n=-[2^(n+1)-1]/(2-1)+(2n+1)×2^n-n =1-2^(n+1)+(2n+1)×2^n-n=1-n+(-2+2n+1)×2^n=1-n+(2n-1)×2^n

Answer 2