Question

已知a+b+c=a²+b²+c²=2 求证a（1-a）²=b（1-b）²=c（1-c）²

Answer 1

证明：∵a+b+c=2
∴c=2-a-b
而a²+b²+c²=2
∴a²+b²+(2-a-b)²=2
直接展开，可以得到：2a²+2b²+4-4a-4b+2ab=2
∴a²+b²-2a-2b+ab+1=0
∴(a²-2a+1)+(b²-2b+1)=1-ab
∴(1-a)²+(1-b)²=1-ab
∴a(1-a)²+a(1-b)²=a-a²b
b(1-a)²+b(1-b)²=b-ab²
∴相减即可得出a(1-a)²=b(1-b)²

有问题欢迎追问，望采纳~

Answer 2

(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc

2(ab+ac+bc)=0
c=(1-a)+(1-b)
代入a²+b²+c²=2 然后整理式子 得方程 (1)
同时展开a(1-a)²=b(1-b)² 得方程 (2)
很直观可得(1)就是(2) 即证明a(1-a)²=b(1-b)²
同理可证a(1-a)²=c(1-c)²