Question

已知函数f(x)=lnx+ax^2+bx(a,b为常数且a不等于0)在x=1处取得极值。

若f（x）在（0，e]上的最大值为1，求a的值

Answer 1

∵函数f(x)=lnx+ax^2+bx(a,b为常数且a不等于0)在x=1处取得极值。
显然f(x)连续且在从0开始时为递增函数
∴f '(x)=1/x+2ax+b,在x=1处值为0。即1+2a+b=0,∴b=-2a-1
∵f '(x)=1/x+2ax+b=1/x+2ax-2a-1=(x-1)(2a-1/x)，注意定义域x>0
∴f(x)的极值(怀疑)点是x=1,x=1/(2a）[此时必须 a>0]
当x→0+时，f(x)→-∞,∴可适当取x0，使f(x)在(0,x0)递增且f(x0)<0
则f（x）在（0，e]上的最大值就是f（x）在[x0，e]上的最大值
∴f（x）在（0，e]上的最大点就在[x0，e]上的极值点或端点
1)若函数f(x)=lnx+ax^2+bx在x=1处取得极大值1，
则f(1)=ln1+a-2a-1=1，∴a=-2
f''(x)=-1/x^2+2a, f''(1)<0.
x=1为唯一的极大值点，f(1)=1是（0，e]上的最大值
∴a=-2为题的解
2)若f[1/(2a)]=1，且0<1/(2a);
∵当1/2a>0时
f(1/2a)=ln(1/2a)+a(1/2a)^2-(2a+1)(1/2a)
=ln(1/2a)-1/(4a)-1<0，∴f(1/2a)≠1,此时a无解
3） 当f(e)=1时.
f(e)=lne+ae^2-(2a+1)e=1，可得a=1/(e-2),
f(x)=lnx+x^2/(e-2)-[2/(e-2)+1]x,1/2a=2e-4
于是
f(1/2a)=ln(2e-4)+(2e-4)^2/(e-2)-[2/(e-2)+1](2e-4)
=ln(2e-4)+2(e-2)-4<1,
同样可得f(1)<1
∴a=1/(e-2)为另一解
综上可得，a=-2及1/(e-2）
注：本题思路是找出可能的最大点并分别讨论。没有验算，可能计算有误。请自己再作作

Answer 2

额～总算是找到本题第二问了，补上第一问为后来的行个方便 函数f(x)在x=1处有极值，则：
f'(1)=0
因：f'(x)=(1/x)＋2ax＋b
则：f'(1)=1＋2a＋b=0
得：
b=－2a－1
即：
f(x)=lnx＋ax²－(2a＋1)x
f'(x)=(1/x)＋2ax－2a－1=[(2ax－1)(x－1)]/(x)
当a=1时，f'(x)=[(2x－1)(x－1)]/(x)
则：f(x)的递增区间是：(0，1/2)，(1，＋∞)，递减区间是：(1/2，1)