Question

函数在某一点可导的充要条件

教材定义是：若极限 (h->0) lim [ f(x0+h) - f(x0)] / h 存在，则函数f(x)在x0处可导。
这个没有问题吧？

然后，如果 (h->0) lim [ f(x0+h) - f(x0-h) ] / h = A，却不能说明f(x)在x0处可导，这是为什么？？！！！

举个例子，有一分段函数f(x)，当x不等于0时，f(x)=x；当x=0时，f(x)=2，即
f(x)= 2,x=0
x,x!=0
我们取x0=0，研究f(x)在点x0出的可导性
那么f(x)满足刚刚提到的函数可导的式子：

(h->0) lim [ f(0+h) - f(0-h) ] / h = 2，
但f(x)明显在x0=0出不连续，因此也就不可导！

求学霸解释！为什么f(x)满足了可导的充要条件，却不一定可导？

Answer 1

函数在某点可导的充要条件是函数在该点的左右极限都存在且相等。 也可以说是左导数和右导数都存在且相等。

左极限就是函数从一个点的左侧无限靠近该点时所取到的极限值，且误差可以小到我们任意指定的程度，只需要变量从坐标充分靠近于该点。

右极限就是函数从一个点的右侧无限靠近该点时所取到的极限值，且误差可以小到我们任意指定的程度，只需要变量从坐标充分靠近于该点。

函数的近代定义

是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

以上内容参考：百度百科-函数

Answer 2

函数在某点可导的充要条件是函数在该点的左右极限都存在且相等。 也可以说是左导数和右导数都存在且相等。

左极限就是函数从一个点的左侧无限靠近该点时所取到的极限值，且误差可以小到我们任意指定的程度，只需要变量从坐标充分靠近于该点。

右极限就是函数从一个点的右侧无限靠近该点时所取到的极限值，且误差可以小到我们任意指定的程度，只需要变量从坐标充分靠近于该点。

扩展资料

所有多项式函数都是连续的。各类初等函数，如指数函数、对数函数、平方根函数与三角函数在它们的定义域上也是连续的函数。

绝对值函数也是连续的。

定义在非零实数上的倒数函数f= 1/x是连续的。但是如果函数的定义域扩张到全体实数，那么无论函数在零点取任何值，扩张后的函数都不是连续的。

非连续函数的一个例子是分段定义的函数。例如定义f为：f(x) = 1如果x> 0，f(x) = 0如果x≤ 0。取ε = 1/2，不存在x=0的δ-邻域使所有f(x)的值在f(0)的ε邻域内。直觉上我们可以将这种不连续点看做函数值的突然跳跃。

Answer 3

函数f(x)在x0处可导的充要条件是：f'(x0+)存在、f'(x0-)存在，且f'(x0+)=f'(x0-)

追问

你说的是f(x)在x0出可导的另一个充要条件。我说的那个也是。
函数f(x)在x0处可导有两个充要条件，我问的是我说的那个。。。

追答

按照你说的：
函数f(x)在x0处可导的充要条件是：若极限lim【h→0】[f(x0+h)-f(x0)]/h存在，则函数f(x)在x0处可导。

而你在推导给出的实例时，却使用了“lim【h→0】[f(x0+h)-f(x0-h)]/h存在”，这一点是错误的！

lim【h→0】[f(x0+h)-f(x0)]/h存在，lim【h→0】[f(x0+h)-f(x0-h)]/h存在，这两个是不等价的！！
明白吗？！

追问

可是这两个为什么不等价呢？按你说的，若
lim【h→0】[f(x0+h)-f(x0)]/h=A 存在，那么

lim【h→0】[f(x0+h)-f(x0-h)]/h 不就等于0.5A了么，不就也存在了？

就相当于等式两边同乘个1/2，然后把左边的1/2拉进分母凑成2h

追答

请参考“lkjhggv”先生的解答。

Answer 4

满足(h->0) lim [ f(x0+h) - f(x0-h) ] / h = A和f(x)可导的充要条件是不同的。因为(h->0) lim [ f(x0+h) - f(x0-h) ] / h = A，左边=lim [（ f(x0+h) - f(x0) ）+（ f(x0)- f(x0-h) ）] / h ，可以看成是两个部分了（每部分确实都是符合可导的充要条件的），但两个部分之和的极限存在，不能说明两部分各自的极限都存在，即不能拆成lim [（ f(x0+h) - f(x0) ）/h +lim [（ f(x0)- f(x0-h) ）] / h ,因此题设是不满足可导的充要条件的

追问

“两个部分之和的极限存在，不能说明两部分各自的极限都存在”
为什么不能说明？
由极限运算法则
lim(A+B)=limA+limB

能不能举个例子说明lim(A+B)存在，
但limA+limB不存在的？

追答

极限的四则的运算都是有条件的，即两个极限前提都是存在的，而且除法运算，分母的极限不能为零，你可以查下课本。你说的例子，假如A为1，-1,1，-1,……B为-1,1，-1,1……

Answer 5

定义是函数在某点附近有极值，附近即左右都可导。而这个分段函数在x＝0附近不是连续曲线，所以在x=0时根本就没有极限。