Question

函数在某一点可导的充要条件

教材定义是：若极限 (h->0) lim [ f(x0+h) - f(x0)] / h 存在，则函数f(x)在x0处可导。
这个没有问题吧？

然后，如果 (h->0) lim [ f(x0+h) - f(x0-h) ] / h = A，却不能说明f(x)在x0处可导，这是为什么？？！！！

举个例子，有一分段函数f(x)，当x不等于0时，f(x)=x；当x=0时，f(x)=2，即
f(x)= 2,x=0
x,x!=0
我们取x0=0，研究f(x)在点x0出的可导性
那么f(x)满足刚刚提到的函数可导的式子：

(h->0) lim [ f(0+h) - f(0-h) ] / h = 2，
但f(x)明显在x0=0出不连续，因此也就不可导！

求学霸解释！为什么f(x)满足了可导的充要条件，却不一定可导？

Answer 1

函数在某点可导的充要条件是函数在燃掘该点的左右极限都存在且相等。 也可以说是左导数和右导数都存在且相等。

左极限就是函数从一个点的左侧无限靠近该点时所取到的极限值庆早，且误差可以小到我们任意指定的程度，只需要变量从坐标充分靠近于该点。

右极限就是函数从一个点的右侧无限靠近该点时所取到的极限值，且误差可以小到我们任意指定的程度，只需要变量从坐标充分靠近于该点。

函数的近代定义

是誉段雀给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

以上内容参考：百度百科-函数

Answer 2

函数在某点可导的充要条件是函数在该点的左右极限都存在且相等。 也可以说是左导数和右导数都存在且相等。

左极限就是函数从一个点的左侧无限靠近该点时所取到的极限值，且误差可以小到我们任慧搭意指定的程度，只需要变量从坐标充分靠近于该点。

右极限就是函数从一个点的右侧无限靠近该点时核晌所取到的极限值，且误差可以小到我们任意指定的程度，只需要变量从坐标充分靠近于该点。

扩展资料

所有多项式函数都是连续的。各类初等函数，如指数函数、对数函数、平方根函数与三角函数在它们的定义域上也是连续的函数。

绝对值函数也是连续改碧锋的。

定义在非零实数上的倒数函数f= 1/x是连续的。但是如果函数的定义域扩张到全体实数，那么无论函数在零点取任何值，扩张后的函数都不是连续的。

非连续函数的一个例子是分段定义的函数。例如定义f为：f(x) = 1如果x> 0，f(x) = 0如果x≤ 0。取ε = 1/2，不存在x=0的δ-邻域使所有f(x)的值在f(0)的ε邻域内。直觉上我们可以将这种不连续点看做函数值的突然跳跃。

Answer 3

函数镇敏念f(x)在x0处御困可导的充要条件是：f'拿棚(x0+)存在、f'(x0-)存在，且f'(x0+)=f'(x0-)

追问

你说的是f(x)在x0出可导的另一个充要条件。我说的那个也是。
函数f(x)在x0处可导有两个充要条件，我问的是我说的那个。。。

追答

按照你说的：
函数f(x)在x0处可导的充要条件是：若极限lim【h→0】[f(x0+h)-f(x0)]/h存在，则函数f(x)在x0处可导。

而你在推导给出的实例时，却使用了“lim【h→0】[f(x0+h)-f(x0-h)]/h存在”，这一点是错误的！

lim【h→0】[f(x0+h)-f(x0)]/h存在，lim【h→0】[f(x0+h)-f(x0-h)]/h存在，这两个是不等价的！！
明白吗？！

追问

可是这两个为什么不等价呢？按你说的，若
lim【h→0】[f(x0+h)-f(x0)]/h=A 存在，那么

lim【h→0】[f(x0+h)-f(x0-h)]/h 不就等于0.5A了么，不就也存在了？

就相当于等式两边同乘个1/2，然后把左边的1/2拉进分母凑成2h

追答

请参考“lkjhggv”先生的解答。

Answer 4

满足(h->0) lim [ f(x0+h) - f(x0-h) ] / h = A和f(x)可导的充要条件是不同的。因为(h->0) lim [ f(x0+h) - f(x0-h) ] / h = A，左边=lim [（ f(x0+h) - f(x0) ）+（ f(x0)- f(x0-h) ）档州] / h ，可以看成是两个部分了（每部分确实都是符合可导的充要条件的），但两个部分之和的极限存在戚虚，不能说明两部分各自的极限都存在，即不能拆成lim [（ f(x0+h) - f(x0) ）/h +lim [（ f(x0)- f(x0-h) ）] / h ,因此题设是不满足可导高蠢燃的充要条件的

追问

“两个部分之和的极限存在，不能说明两部分各自的极限都存在”
为什么不能说明？
由极限运算法则
lim(A+B)=limA+limB

能不能举个例子说明lim(A+B)存在，
但limA+limB不存在的？

追答

极限的四则的运算都是有条件的，即两个极限前提都是存在的，而且除法运算，分母的极限不能为零，你可以查下课本。你说的例子，假如A为1，-1,1，-1,……B为-1,1，-1,1……

Answer 5

定义是函数在某点附近有极值，附近即左右都可导。而这个分段函兆拦卜数衡誉在x＝0附近不族穗是连续曲线，所以在x=0时根本就没有极限。