Question

如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它

如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n．
（1）△ABE与△DCA是否相似？请加以说明．
（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围．
（3）当BE=CD时，分别求出线段BD、CE、DE的长，并通过计算验证BD2+CE2=DE2．
（4）在旋转过程中，（3）中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

(1)∠B=∠C=45°
∠DAC=∠DAE+∠EAC = 45°+∠EAC
∠AEB=∠C+∠EAC = 45°+∠EAC
∴∠AEB= ∠DAC
∴△ABE∽△DCA。
(2)∵△ABE∽△DCA，BE=m，CD=n
∴BE:CA=AB:DC
∵BC=2
∴mn=CA*AB=CA²=BC²/2=2
m、n的关系式为 mn=2
当E、C重合时，n最小，此时D是BC中点，n = 1
当B、D重合时，n最大，此时E是BC中点，n = 2
n的取值范围是（1，2）
（3）BE=CD ，即 m=n ∴m=n=√2
BD=BC-CD=2-√2
CE=BC-BE=2-√2
DE=BC-BD-CE=2-(2-√2)-(2-√2)=2√2-2
验证得出BD²+CE²=DE²

（4）BD²+CE²=DE²始终成立。
已知：BE=m，CD=n，BC = 2
说明：DE=BE-BD = BE-(BC-CD) = BE-BC+CD
DE²=BE²+CD²+BC²+2BE*CD-2BE*BC-2CD*BC
=m²+n²+4+2mn-4m-4n
=m²+n²+8-4m-4n
=(2-n)²+(2-m)²
又∵BD=BC-CD = 2-n
CE=BC-BE = 2-m
∴ DE²=BD²+CE²

Answer 2

(1)
∠B=∠C=45
∠DAC=∠DAE+∠EAC = 45+∠EAC
∠AEB=∠C+∠EAC = 45+∠EAC = ∠DAC
△ABE与△DCA三个角都相等，所以△ABE与△DCA相似。
(2)
由相似得
BE:CA=AB:DC
bc=2
mn=CA*AB=CA²=BC²/2=2
m、n的关系式为 mn=2
极限情况，E、C重合，n最小，此时D是BC中点，n>1
极限情况，B、D重合，n最大，此时E是BC中点，n<2
n的取值范围是（1，2）
（3）
BE=CD
m=n=√2
BD=BC-CD=2-√2
CE=BC-BE=2-√2
DE=BC-BD-CE=2-(2-√2)-(2-√2)=2√2-2
验证得出BD²+CE²=DE²

（4）
BD²+CE²=DE²始终成立。
DE=BE+CD-BC
DE²=BE²+CD²+BC²+2BE*CD-2BE*BC-2CD*BC
=BE²+CD²+ 4 +2*mn -2*2*(BE+CD)
=BE²+CD²+ 4 +2*2 -2*2*(BE+CD)
=BE²+CD²+ 8 -4 *(BE+CD)
BD=BC-CD
CE=BC-BE
BD²+CE²=(BC-CD)²+(BC-BE)²=(2-CD)²+(2-BE)²
=4-4CD+CD²+4-4BE+BE²
=BE²+CD²+ 8 -4*(BE+CD)
所以BD²+CE²=DE²