Question

关于矩阵的秩的问题

题:设A为4×3矩阵,B为3×4矩阵,且R(A)=2,R(B)=3,求R(AB).
解:因为B为3×4矩阵且R(B)=3,则有R(B)=R(BB∧T)=3,从而BB∧T为三阶可逆矩阵,于是R(A)≥R(AB)≥R(ABB∧T)=R(A),故R(AB)=2.

*上述的 B∧T 表示矩阵B的转置矩阵,上标在下T打不出来.

想问的是:
1:解中的 R(B)=R(BB∧T) 怎么来的?
2:解中的 R(ABB∧T)=R(A) 又是怎么来的?

本节学矩阵的秩的性质,希望能用性质解释一下,列出本节学习的性质希望有用:
1) ≤R(A∨m×n)≤min{m,n}; *A∨m×n 表示m行n列的矩阵A
2)R(A∧T)=R(A);
3)若A→B,则R(A)=R(B)
4)若P,Q可逆,则R(PAQ)=R(A);
5)max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B);6)R(A+B)≤R(A)+R(B);7)R(AB)≤min{R(A),R(B)};8)若A∨m×nB∨n×l=O,则R(A)+R(B)≤n. 图片一上传失败,现只能用手打了.若看不明白需要课本图片大侠就支一声. 感谢大侠!!!

Answer 1

建议上标用^, 下标用_.
然后为了简便, 这里就用A'表示A的转置.

1. 这是一个结论: 若B是m×n实矩阵, 则R(B) = R(B'B).
进而也有R(B) = R(B') = R(BB').

证明: 考虑线性方程组BX = 0 ①与B'BX = 0 ②, 证明二者同解.
不妨在实数域上讨论(秩是与数域无关的. 如果在复数域上讨论只需稍加修改).
若X满足①, 自然有B'BX = B'(BX) = 0, 即①的解也是②的解.
若X满足②, 则(BX)'BX = X'B'BX = 0.
设BX = (y_1,y_2,...,y_m)', 则有y²_1+y²_2+...+y²_m = 0, 故y_1 = y_2 = ... = y_m = 0.
即得BX = 0, ②的解也是①的解.
①的解空间维数n-r(B) = ②的解空间维数n-R(B'B).
故r(B) = r(B'B), 证毕.

注意实矩阵的条件是必要的, 复矩阵可以有反例: 如B =
i -1
1 i
R(B) = 1, 但R(B'B) = 0.

2. BB'是3阶方阵, R(B'B) = 3, 故BB'可逆.
与可逆矩阵相乘不会改变矩阵的秩(性质4)).
所以R(A) = R(ABB').

不过话说回来, 个人认为这个证法不好.
不仅需要B是实矩阵的额外条件, 而且属于无谓的使用技巧.

实际上, 由R(B) = 3, 存在B的3列线性无关, 它们构成B的一个子矩阵C.
C是3阶方阵且R(C) = 3, 即C可逆.
由矩阵乘法可知, AC也是AB的一个子矩阵, 得R(AB) ≥ R(AC).
但C可逆, 故R(AC) = R(A), 于是R(AB) ≥ R(A).
又R(A) ≥ R(AB), 即得R(AB) = R(A).

Answer 2

1. 参见 http://zhidao.baidu.com/question/282915048.html
得 r(A) = r(A^TA)
所以 r(A) = r(A^T) = r(AA^T)
2. 利用性质 4) 即得.