Question

矩阵等价是什么意思

Answer 1

矩阵等价：

在线性代数和矩阵论中，有两个m×n阶矩阵A和B，如果这两个矩阵满足B=Q-1AP（P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵），那么这两个矩阵之间是等价关系。也就是说，存在可逆矩阵，A经过有限次的初等变换得到B。

性质

1.矩阵A和A等价(反身性）；

2.矩阵A和B等价，那么B和A也等价(等价性）；

3.矩阵A和B等价，矩阵B和C等价,那么A和C等价（传递性）；

4.矩阵A和B等价，那么IAI=KIBI。(K为非零常数)

5.具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解

6.对于相同大小的两个矩形矩阵，它们的等价性也可以通过以下条件来表征：

（1）矩阵可以通过基本行和列操作的而彼此变换。

（2）当且仅当它们具有相同的秩时，两个矩阵是等价的。 

扩展资料:

证明

a1,a2,....an,线性无关，而a1,a2,....an,b,r线性相关，所以有x1a1+x2a2+....xnan+xb+yr=0,若y=0,则x1a1+x2a2+....xnan+xb=0,说明a1,a2,...an,b线性相关，同理x=0,可得a1,a2,....an,r线性相关。

若x,y都不为零，两边除以x可得-b=x1/x)a1+(x2/x)a2+...+(xn/x)an+(y/x)r,这表示b可以用a1,a2,....an,r.表示。若除以y可证明r可以用a1,a2,....an,b表示。这就说明a1,a2,....an,b与a1,a2,....an,r等价.综合可得命题得证。

当A和B为同型矩阵，且r（A）=r（B）时，A，B一定等价。

参考资料:百度百科-----等价矩阵

Answer 2

你好！广泛意义的等价，是集合在某种变换下保持不变性。如：矩阵A与称为等价的，如果B可以是A经过一系列初等变换得到。矩阵在初等变换下是行列式不变的。在线性代数中，合同、相似都是等价关系

追问

什么是合同 相似呢

追答

合同指的是两个矩阵的正定性一样，也就是说，两个矩阵对应的特征值符号一样
相似是指两个矩阵特征值一样。 合同或相似矩阵 必有相同的秩, 故必是等价的. 但合同不一定相似, 相似也不一定合同 但正交相似时即合同又相似

追问

请解释下什么是合同 什么是相似 谢谢

追答

等价指的是两个矩阵的秩一样 合同指的是两个矩阵的正定性一样，也就是说，两个矩阵对应的特征值符号一样 相似是指两个矩阵特征值一样。 相似必合同，合同必等价。

追问

谢谢 没学过这么多

Answer 3

矩阵A，B等价，就是A经过初等变换能变为B，当然B也能用初等变换变为A。

Answer 4

两矩阵等价的充要条件是"两矩阵秩相同,且矩阵的大小相同"，而秩相同是矩阵相似的必要条件，所以矩阵相似一定等价但是矩阵等价不一定相似，例如
1 1 ；0 1 和 1 0 ；0 1 两者秩相同等价，但是不相似
两矩阵合同的判断条件有两层，首先两矩阵都是二次型也就是对称矩阵，其次是这两个大小相同的"矩阵的特征值取正取负取零的个数一致"，因为矩阵相似时矩阵的特征值相同，所以两"对称矩阵"相似时必然合同，但矩阵合同不一定相似，例如
1 0 ；0 2 和 2 0 ；0 3 两者秩正负情况一致且是对称矩阵合同，但不相似
两矩阵相似的条件也有两层，一是大小相同的两方阵特征值个数取值相同，二是相同的特征值对应的非线性相关特征向量的个数相同，例如
1 0 ；0 2 和 2 0 ；0 1 两者皆为方阵特征值相同且，相同特征值对应特征向量情况一致
理论上由于矩阵等价合同相似对于矩阵大小形状各有不同要求，所以具体情况应当具体分析
实际应用过程中，考研数学一般把矩阵限定为实对称矩阵，这时矩阵相似对于矩阵合同和等价是一个强条件，利用矩阵相似能够推出矩阵合同和矩阵等价，合同和等价又可进一步推出矩阵的正定性质和待求方程组解的情况
简单记忆方法：等价->秩，合同->特征值正负，相似->特征值、特征向量

Answer 5

定义:若由A经过一系列初等变换可得到矩阵B ，则称A与B等价. 若A与B等价,则B与A等价. 若A与B等价,B与C等价,则A与C等价. A与B等价<==秩(A)=秩(B) A与B等价<==A与B有相等的等价标准形 A与B等价<==存在可逆矩阵P,Q，使得PAQ＝B