Question

已知函数y=(mx+n)/(x^2+1) 的最大值为4，最小值为 —1 ，求m,n

y=(mx+n)/(x^2+1)
yx^2-mx+y-n=0
delta=m^2-4y(y-n)>=0--> 4y^2-4ny-m^2<=0
由于 -1=<y<=4, 所以-1，4 为方程 4y^2-4ny-m^2=0的两个根
由韦达定理得：-1+4=3=4n/4=n --> n=3
-1*4=-4=-m^2/4 --> m=4 or -4
我有几个问题：
1.yx^2-mx+y-n=0 这个方程一定是有解的吗？？？
2.如果有解的话，m^2-4y(y-n)>=0--> 4y^2-4ny-m^2<=0 为什么两个根就是-1，4呢，4y^2-4ny-m^2<=0 完全可以不超过X轴啊？？整个图像完全可以就在X轴下方啊？

Answer 1

y=(mx+n)/(x^2+1) >=-1->mx+n+(x^2+1)>=0(恒>=0 则说明与x轴有且只有一个交点即delta=0，并开口朝上)->
delta = m^2-4(n+1)=0 (1)
y=(mx+n)/(x^2+1) <=4->4x^2-mx+4-n>=0(恒>=0 则说明与x轴有且只有一个交点即delta=0，并开口朝上)->
delta = m^2-16(4-n)=0 (2)
=>n=3,m=正负4 （结合 1 ，2 计算）
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yx^2-mx+y-n=0
delta=m^2-4y(y-n)>=0--> 4y^2-4ny-m^2<=0
你的这个分析出发点有问题，y有最大、小值并不一定说明x有值，不能推出delta》=0，出发点应从最大，最小这个核心控制出发。

Answer 2

1、yx²-mx+y-n=0 一定有解，也就是说 x 一定存在，因为原式本来就是用 x、m、n 组成代数式并以 y 代表的，x 是自变量，如果连自变量都不存在，那函数式还有意义么？
2、因为 y=-1、y=4 是最值点，即当 x 取某个值时（m、n 已定）对应 y=-1 或 y=4；你都弄成△>0，意味着对应任一 y 都有两个不同的 x，如此一来 y 只剩一个最值；

Answer 3

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