Question

有关于定积分的几何应用的问题。。被积函数绕x轴或y轴所所围城区域的体积。。绕y轴的那个公式怎么解释啊

有关于定积分的几何应用的问题。。被积函数绕x轴或y轴所所围城区域的体积。。绕y轴的那个公式怎么解释啊。
绕y轴旋转一周的计算公式用几何解释呢。。

Answer 1

微元法：

任取x，x+dx小段，绕y轴旋转，得一个空心圆柱体，沿平行于y轴剪开，得一个长方体：

厚为dx，宽为f(x)，长2πx(圆的周长）

故：
dV=2πxf(x)dx；

取元原则

选取微元时所遵从的基本原则是

1、可加性：由于所取的“微元” 最终必须参加叠加演算，所以，对“微元” 及相应的量的最基本要求是：应该具备“可加性”特征；

2、有序性：为了保证所取的“微元” 在叠加域内能够较为方便地获得“不遗漏”、“不重复”的完整叠加，在选取“微元”时，就应该注意：按照关于量的某种“序”来选取相应的“微元” ；

3、平权性：叠加演算实际上是一种复杂的“加权叠加”。对于一般的“权函数” 来说，这种叠加演算（实际上就是要求定积分）极为复杂，但如果“权函数” 具备了“平权性”特征（在定义域内的值处处相等）就会蜕化为极为简单的形式。

Answer 2

微元法：任取x,x+dx小段，绕y轴旋转，得一个空心圆柱体，沿平行于y轴剪开，得一个长方体：厚为dx,宽为f(x),长2πx(圆的周长），故dV=2πxf(x)dx。

旋转而得的立体是一个中间圆台形镂空、以x＝2为旋转轴的立体，所谓在[0,1]上取小区间[x,x+dx]，实际上是在x处取了一个厚为dx、环绕直线x＝2的圆环，该圆环的周长是2π(2-x)，高是上半圆周对应的函数减去直线对应的函数，厚度是dx，周长×高×厚度就是微元dV

最常见的换“元”技巧有如下几种

（1）“时间元”与“空间元”间的相互代换（表现时、空关系的运动问题中最为常见）；

（2）“体元”、“面元”与“线元”间的相互代换（实质上是降“维”）；

（3）“线元”与“角元”间的相互代换（“元”的表现形式的转换）；

（4）“孤立元”与“组合元”间的相互代换（充分利用“对称”特征）。

Answer 3

第一个公式一般书上都有，不解释。下面解释第二个公式。
2πxf(x)为[a,b]区间内任意一点x处，y轴方向长度为f(x)的线段绕y轴旋转一周所得圆周长为2πx，高为f(x)的无底薄壁圆筒面积；
2πxf(x)dx为该无底薄壁圆筒在厚度为dx时的体积（旋转体的体积微元），即dVy=2πxf(x)dx
于是，∫(a,b)2πxf(x)dx就是x=a,x=b,y=0,y=f(x) (0<a<b;f(x)>0)绕y轴旋转一周所得旋转体的体积。即 Vy=∫(a,b)2πxf(x)dx=2π∫(a,b)xf(x)dx.

Answer 4

Answer 5

微元法：
任取x,x+dx小段，绕y轴旋转，得一个空心圆柱体，沿平行于y轴剪开，
得一个长方体：厚为dx,宽为f(x),长2πx(圆的周长）
故dV=2πxf(x)dx