Question

高三数学题目，立体几何

对于第一问，我知道PA垂直于底面，但是 BA不一定垂直于AD啊，怎么建立的空间直角坐标系？如果BA⊥AD，那么我还知道这样可以直接写出各个点的坐标。但是题目只说了底面是菱形，但各个角并没说是直角。

Answer 1

对于此类题，建系必须选择合适的原点，若题目未给出合适的原点，可通过所给条件寻找一个合适的点，此题：
∵PA⊥底面ABCD，ABCD为菱形，∴AC⊥BD，设交于O
建立以O为原点，以AC方向为X轴，以BD方向为Y轴，以AP方向为Z轴正方向的空间直角坐标系O-xyz
∵AC=2√2，PA=2，E是PC上一点PE=2CE
则点坐标：
O(0,0,0)，A(-√2,0,0)，C(√2,0,0)，P(-√2,0,2)，E(√2/3,0,2/3)，B(0,-y,0)，D(0,y,0)
向量PC=(2√2,0,-2)，向量EB=(-√2/3,-y,-2/3)，向量ED=(-√2/3,y,-2/3)
向量PC*向量EB =-4/3+0+4/3=0
向量PC*向量ED =-4/3+0+4/3=0
∴PC⊥面BED

(2)∵二面角A-PB-C为90°，∴底面ABCD就变成正方形（也是菱形）就可以如答案建系

Answer 2

第一问：
因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD
因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC
所以BD⊥面ACP，所以PC⊥BD

设AC，BD交于点O
CE=PC/3=2√3/3
CE/CO=(2√3/3)/√2=√6/3=AC/PC
所以△PAC相似于△OEC
所以∠OEC=∠PAC=90°，即PC⊥EO

所以PC⊥平面BED

第二问：
作EK⊥AC交AC于K
则EK=AP*CE/CP=2/3
ED=EK/sin30°=EK*2=4/3
△CED为RT△，所以CD=2√7/3
OD=√(CD^2-OC^2)=√10/3

底面积=2*OC*OD=4√5/3
四棱锥P-ABCD的体积：V=S*h/3=8√5/9

追问

ED=EK/sin30°=EK*2=4/3 这个哪里看出来的？

Answer 3

这题实在太简单，你可以以A点为原点，一个三坐标。所有条件带入。直接OK

追问

以A为原点？但是需要建立的是直角坐标系呀？底面的X、Y轴有没说垂直？

追答

对头，但是你要知道在立体几何中必须懂得利用现有的条件构建一个直角坐标系
当然如这题，以A为原点时可能有人考虑到地面菱形不垂直所以不知道怎么建立，那么你可以看到题目告诉你AC长度了，就这个条件，你就可以完全利用。。或者说在头脑中按照这条件构建一个虚拟三坐标。
个人认为这个高中数学系列中就立体几何和导函数最简单
真不行你可以以地面菱形交点作为原点，就是麻烦点

追问

同学你来迟了，不然就采纳你的了

追答

还同学哈  我都毕业工作好些年了

追问

哈哈，我喜欢司马懿