Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠C＝90°,E为CD的中点，EF∥AB交BC于点F.

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠C＝90°,E为CD的中点，EF∥AB交BC于点F.(1)求证：BF＝AD+CF；（2）当AD＝1,BC＝7,且BE平分∠ABC时，求EF的长。

Answer 1

①平移GB至EF。 BF＝GE｛平行四边形对边相等｝＝½（BF＋AD ＋FC ）{中位线性质｝→
½BF＝½（AD＋FC），
∴BF＝AD＋FC。
②∵∠GBE＝∠FBE｛已知BE是角平分线｝＝∠GEB｛内错角相等｝，
∴EF ＝GB{平行四边形性质｝＝GE｛等角对等边｝＝½（AD＋BC）
　　　＝½（1＋7）＝4。

Answer 2

延长FE交AD的延长线于G
∵梯形ABCD中，AD∥BC,∠C＝90
∴∠CDA=90
∠DGE=∠CFE
∵E为CD的中点
∴CE=ED
∴Rt△CFE≌Rt△DGE
∴DG=CF
AD∥BC，EF∥AB
∴四边形ABFG是平行四边形。
∴BF=AG=AD+DG=AD+CF
2)
AD＝1,BC＝7,且BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠CBE
EF∥AB
∴∠ABE=∠BEC
∴∠CBE=∠BEC
∴△BEF是等腰三角形
∴EF=BF
令BF=x,CF=DG=Y
X+Y=7
X=1+Y

Answer 3

延长FE，交AD的延长线于H
因为AH//BC，E为CD的中点
所以CF=DH
因为AH//BF，FH//AB
所以四边形ABFH是平行四边形
所以AH=BF
因为AH=AD+DH
所以BF=AD+CF

因为EF//AB
所以∠ABE=∠FEB
因为∠ABE=∠CBE
所以∠FEB=∠CBE
所以EF=BF
因为BF=AD+CF
所以BF=(AD+BF+CF)/2=(AD+BC)/2=4
所以EF=4

Answer 4

1)证明：作EG∥BC，交AB于G，作AH⊥GE垂足为H

则AHED是矩形、BFEG是平行四边形

∵E是CD的中点

∴AH=DE=EC，AG=BG=CE

又∠AHG=∠C=90°

∴△AGH≌△EFC

∴GH=CF

∴BF=GE=GH+HE=CF+AD

2)AD=1，BC=7

∴GE=(1+7)/2=4

∵BE平分∠ABC

∴BG=GE=4

∴EF=4

Answer 5

延长AD和EF使它们相交于G点
(1)∵AD∥BC,DE=C,
∴DG=FC
∵EF∥AB
∴BF=AG=AD+DG=AD+FC
(2)∵EF∥AB
∴∠EFC=∠ABC
∵BE平分∠ABC
∴∠EFC=∠EBF+∠BEF=2∠EBF
∠EBF=∠BEF
∴EF=BF=BC-FC=AD+DG=AD+FC
BC-AD=2FC
FC=(7-1)/2=3
EF=BC-FC=7-3=4

Answer 6

解：（1）证明：
延长AD交FE的延长线于N
∵∠NDE=∠FCE=90°
∠DEN=∠FEC
DE=EC
∴△NDE≌△FCE
∴DN=CF
∵AB∥FN，AN∥BF ∴四边形ABFN是平行四边形
∴BF=AD+DN=AD+FC （2）∵AB∥EF，
∴∠ABE+∠EBC=∠EFC，
∵∠EBC+∠BEF=∠EFC，
∴∠ABE=∠BEF，
∵∠ABE=∠EBC，
∴∠BEF=∠EBC，
∴EF=BF，
∵BF=AD+CF，
∴EF=BF=AD+BC-BF=1+7-BF
∴2BF=8，
∴EF=BF= AD+BC/2=1+7/2．