Question

线性代 谁能帮我证明一下AB的转置等于B的转置乘以A的转置 还有A乘以 A的伴随矩阵等于A的伴随矩阵乘以A

谢谢

Answer 1

⑴ AB的转置等于B的转置乘以A的转置

A为 m行n列矩阵，i行j列交点处元素记﹙A﹚ij B为 n行k列矩阵.

﹙AB﹚'rs＝﹙AB﹚sr＝∑[1≤i≤n]﹙A﹚si﹙B﹚Ir

﹙B'A'﹚rs＝∑[1≤i≤n]﹙B'﹚ri﹙A'﹚is＝∑[1≤i≤n]﹙B﹚Ir﹙A﹚si＝∑[1≤i≤n]﹙A﹚si﹙B﹚Ir

∴﹙AB﹚'rs＝﹙B'A'﹚rs 即∴﹙AB﹚'＝B'A'

⑵ A乘以 A的伴随矩阵等于A的伴随矩阵乘以A [ A是n阶方阵 ]

﹙AA*﹚rs＝∑[1≤i≤n]﹙A﹚ri﹙A*﹚Is＝δrs|A|

﹙A*A﹚rs＝∑[1≤i≤n]﹙A*﹚ri﹙A﹚Is＝δrs|A|

∴﹙AA*﹚rs＝﹙A*A﹚rs 即∴AA*＝A*A