Question

已知函数f(x)=ln(2ax+1)+x^3/3-x^2-2ax(a属于R).(1)若y=f(x)在[3,正无穷)上为增函数求实数a的取值范围

已知函数f(x)=ln(2ax+1)+x^3/3-x^2-2ax(a属于R).(1)若y=f(x)在[3,正无穷)上为增函数.求实数a的取值范围.(2)当a=-1/2时，方程f(1-x)=(1-x)^3/3+b/x有实根，求实数b的最大值。（求详解，谢谢。）

Answer 1

• 对f（x）求导，得到f（x）的导函数（一定要注意：2ax+1>0 这个条件）由y=f(x)在[3,正无穷)上为增函数可以知道:f（x）的导函数>0(令：g（x）=f（x）的导函数)可知：g（x）在[3,正无穷)上恒大于等于0，变形可以得到a=h（x），求h（x）在[3,正无穷)上的值域，也就是a的取值范围（如果不好变形，可以考虑进一步对g(x)求导，确定g（x）在[3,正无穷)上的单调性，得到g（x）关于a的关系式的最值，这个最值>0,从解关于a的关系式>0的不等式，从而求出a的取值范围）

• 第二题：当a=-1/2时，f（x）=ln（-x+1）+x^3/3-x^2+x，所以f(1-x)=lnx+(1-x)^3/3-(1-x)^2+（1-x）由f(1-x)=(1-x)^3/3+b/x得：lnx+(1-x)^3/3-(1-x)^2+（1-x）=(1-x)^3/3+b/x得lnx-(1-x)^2-b/x-x+1=0变形得：lnx-b/x=(1-x)^2+x-1=x^2-x；令g（x）=lnx-b/x，h（x）=x^2-x由方程f(1-x)=(1-x)^3/3+b/x有实根，所以g（x）、h（x）的图像有交点（讨论b的情况）根据图像的最值从而求出b的最大值

追问

本人有点笨，第一个问能帮我写一下详细过程吗？最好能把答案做出来。（在此多谢了。）

追答

在这上面打字太痛苦了！而且不好画图！你是高三的学生吧？这种题型比较常见！找找类似的题的参考答案去理解一下吧？