Question

多元函数求极限问题

求函数z=2x^2+3y^2+4x-8在闭域D：x^2+y^2<=4的最小值和最大值
求详细过程和答案

Answer 1

易得，Dz/Dx=4(x+1)，Dz/Dy=6y；
而函数的最值可以在极值、边界和间断处得到；
函数极值点为：（-1，0），带入得：z=-10；
函数边界上有： x^2+y^2=4，-2<x<2，z=2x^2+3y^2+4x-8=-x^2+4x+4=8-(x-2)^2；
可得其边界的最大最小值为：8和-8；
函数没有间断处；
综上，函数的最大值在(2，0)处，zmax=8；
函数的最小值在(-1，0)处，zmin=-10。

Answer 2

解:z=2(x+1)^2 +3y^2 -10
显然，在区域D内(x,y)=(-1,0）时取得z最小值=-10，

易得z的最大值在边界上，令x=2sint,y=2cost , -π< t<π则
z=8sin^2+12cos^t+8sint-8=8-4(sint^2-2sint+1)=8-4(sint-1)^2
当sint=1时，取得最大值z=8