Question

抛物面z=x^2+y^2被平面x+y+z=1截成一椭圆，求原点与该椭圆上点的距离的最大值与最小值

Answer 1

问题等价于求d^2=x^2+y^2+z^2在条件z=x^2+y^2和x+y+z=1下的极值

运用拉格朗日乘数法，记f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+a(x^2+y^2-z)+b(x+y+z-1)

令

f'x=2x+2ax+b=0；

f'y=2y+2ay+b=f'z=2z-a+b=0；

x^2+y^2-z=0；

x+y+z-1=0；

解得

x=y=(-1±√3)/2,z=2-＋√3；

得d1=√(9-5√3),d2=√(9+5√3)；

所以原点与该椭圆上点的距离的最大值为d2=√(9+5√3),最小值为d1=√(9-5√3)。

抛物面简介：

圆绕直径旋转，就得到球面。

抛物线绕对称轴旋转，就得到抛物面。
抛物面在反射望远镜上的应用主要是因为当一束平行光照射到抛物面上时会聚焦到其焦点处 从而将图像得以观察。

聚焦准直光：抛物面反射镜将入射准直光束中的所有光线聚焦到衍射极限点。而凹球面反射镜将入射准直光聚集到大于衍射极限光斑的体积内。

准直来自点光源的光：当高度发散的光源置于抛物面反射镜的焦点处时，输出光束将高度准直。当点源置于球面反射镜的焦距内时，输出光束的准直度不如抛物面反射镜。来自点光源的不同光线经过球面反射镜反射后并不是完全平行。

Answer 2

解：
问题等价于求d^2=x^2+y^2+z^2在条件z=x^2+y^2和x+y+z=1下的极值
运用拉格朗日乘数法
记f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+a(x^2+y^2-z)+b(x+y+z-1)
令
f'x=2x+2ax+b=0
f'y=2y+2ay+b=0
f'z=2z-a+b=0
x^2+y^2-z=0
x+y+z-1=0
解得
x=y=(-1±√3)/2,z=2-＋√3
得d1=√(9-5√3),d2=√(9+5√3)
所以原点与该椭圆上点的距离的最大值为d2=√(9+5√3),最小值为d1=√(9-5√3)