Question

高等数学线性代数问题

当系数矩阵A是方针的时候
Ax=0什么时候有唯一解，有无穷多解，无解？
对于任意的b，Ax=b什么时候有唯一解，有无穷多解，无解？

当系数矩阵A行比列多的时候
Ax=0什么时候有唯一解，有无穷多解，无解？
对于任意的b，Ax=b什么时候有唯一解，有无穷多解，无解？

当系数矩阵A列比行多的时候
Ax=0什么时候有唯一解，有无穷多解，无解？
对于任意的b，Ax=b什么时候有唯一解，有无穷多解，无解？

请在给出答案的时候给出一些解释，我要理解的背下来，因为我发现我做这种选择题的时候从来没对过，这是一个大盲点

求大侠详解，万分感谢！！！

Answer 1

若要真正理解,就不要这样分类
(1) 对非齐次线性方程组 Ax = b
有解 <=> r(A)=r(A,b)
有唯一解 <=> r(A)=r(A,b)=n (未知量的个数,或A的列数)
有无穷多解 <=> r(A)=r(A,b) < n
时刻想着解与秩的关系.
应用到你上面分的3个情况:
1. A是方阵,可求行列式. 当 |A|≠0时, r(A)=n, 方程组有解且解唯一;
|A|=0 时不定, 要看秩
2. 行比列多没有什么意义
3. 列比行多时, 若方程组有解则必有无穷多解 (看看秩)

(2) 对齐次线性方程组就简单了
Ax=0 总是有解(零解), 只需关注是否只有零解.
r(A)=n <=> 只有零解
r(A)<n <=> 有非零解
1. A是方阵, 则 r(A)=n <=> |A|≠0 <=> 只有零解
2. 无意义
3. 必有非零解

Answer 2

晕，这是最基本的呀
当初学习的时候我是借助初中学的三元一次方程组来理解的，应付一般考试没有问题