Question

如图,在△ABC中,CD⊥AB,DE ⊥AC,DF⊥BC，垂足分别为D，E，F。

如图,在△ABC中,CD⊥AB,DE ⊥AC,DF⊥BC，垂足分别为D，E，F。
（1）CA·CE与CB·CF相等吗？为什么？
（2）连接EF交CD于点O，线段OC，OD，OE，OF成比例吗？

麻烦不要复制粘贴，什么△ADB，我能告诉你ADB在同一直线上吗

Answer 1

（1）CA*CE=CA*(CA-EA)-CA²-CA*EA；
CB*CF=CB*(CB-FB)=CB²-CB*FB;
因为DE⊥AC，DF⊥BC，∴ CEDF四点公圆，且由于CDAB于D，故AB切该圆于D；
根据圆的切割线定理，CA*EA=AD²，CB*FB=BD²，
∴ CA*CE=CA²-AD²=CD² = CB*CF=CB²-BD²=CD²；
（2）因为CEDF共圆，CD和EF是相交弦，所以 OC/OE=OF/OD；

追问

能用初二知识解答吗。

追答

都是些相似三角形的内容，还没学么？

追问

圆的切割线定理还有共圆相交弦（？线？）什么的看不懂...

追答

给你看两个图吧，所谓相交弦、切割线，就是利用相似三角形推到出的关联线段的比例关系；

第一个图，AB和CD是圆内两条相交于P点的弦，因∠A＝∠D、∠C＝∠B、∠APC∠DPB，∴△ACP∽△DBP，PA/PD=PC/PB，PA*PB=PC*PD——相交于一点P的弦交点两边的线段乘积相等；

第二个图，PA是原O的切线，PCB切割圆O（所谓割线），△PAB与△PCA由两角相等：∠PBA=∠PAC，∠APB=∠CPA，所以有：PA/PB=PC/PA，或PA²=PB*PC——圆外一点所作圆的切线长的平方等于从该点向圆所作割线上两交点到该点距离的乘积；

如果一点都未接触到上述方面的内容，就等学过后再回头看吧，或者看后面网友的回答；

Answer 2

(1)∵∠ADC=∠CED=90º，∠ACD=∠DCE

    ∴ΔADC≌ΔCED   

    ∴CD：AC=CE：CD

     CD²=CA·CE                   (也可由射影定理直接得到此等式)

同理：CD²=CB·CF

∴CA·CE=CB·CF

(2)∵∠ADC=∠CFD=90º

    ∴C、E、D、F四点共圆

    ∴OC·OD=OE·OF

    即OC：OE=OF：OD

所以OC、OD、OE、OF成比例