Question

初三数学。动点问题。要详细解答！

已知：在梯形ABCD中，CD∥AB，AD=DC=BC=2，AB=4．点M从A开始，以每秒1个单位的速度向点B运动；点N从点C出发，沿C→D→A方向，以每秒1个单位的速度向点A运动，若M、N同时出发，其中一点到达终点时，另一个点也停止运动．运动时间为t秒，过点N作NQ⊥CD交AC于点Q．
（1）设△AMQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．
（2）在点M、N运动过程中，是否存在t值，使△AMQ为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．

Answer 1

亲爱的小同学，有这个时间把题目打出来还不如自己一个人好好想一下哦。
这样的题目其实真不难，自立根生方能革命胜利呀。下不为例：
(1)AM长度按照题意为：AM=t；
① 当N还在CD上时，CN=t<CD=2；
按照题目给出的各线段长度，过点D作CB的平行线，交AB于E点，依照平行四边形对边相等，
DE = CB = 2，AE = AB - EB = AB - DC = 2，可见△DAE是等边三角形，
∠DAB=60°，而梯形ABCD是等腰梯形，∠CBA=∠DAB=60°
三角形ADC是等腰三角形，∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠1
∠CBA=∠DAC+∠CAB=2∠1；∠1=30°
DC与AB的距离是△DAE的高，H=根号3；
NQ=tan 30°×CN=t/根号3；
Q到AB的距离是：h=根号3-t/根号3；
S△AMQ=（1/2）×AM×h = 1/2× t×（根号3-t/根号3） (0<t<2)
② 当N在AD上时，CD<t<CD+DA，即2<t<4；
AN=4-t；NQ与CA夹钝角等于120°，∠DAC=30°，所以△NAQ是等腰三角形
NQ=AQ=AN/根号3（利用等面级原理，两个直角60°三角形合成的这个等腰三角形，高知道可以求出底）；N到AB的距离是：H = 根号3 × AN / 2；
△AMQ的AM边上的高：h = H - NQ = ( 根号3 / 2 - 1/根号3 )× AN
S△AMQ=（1/2）×AM×h = 1/2 × t ×( 根号3 / 2 - 1/根号3 ) ×（4-t） (2<t<4)
(2)等腰三角形的情况共有3种，AQ=AM、QA=QM、MA=MQ
分别考虑；AM=t；AQ = AC - CQ = 2×根号3 - 2 × t / 根号3 (0<t<2)
AQ = AN/根号3 = （4-t）/根号3 (2<t<4)
延长NQ交AB于点F；利用勾股定理求QM的长：
QM^2 = QF^2 + MF^2；QF = 根号3-t/根号3 (0<t<2)根据(1)
QF = （根号3 / 2 - 1/ 根号3）×(4-t) (2<t<4)
MF = [(3-t) - t] = 3 - 2t （0<t<3/2）
MF = [t-(3-t)] = 2t - 3 （3/2<t<2）
MF = [t - AN/2] = t - (4-t)/2 = 3t/2 - 2 （2<t<4）
①AQ=AM；得到：t = 6 / （2+根号3）
②QA=QM；得到：t = 2 （舍掉0解）
③MA=MQ； 得到： t = 6/5 或者 4（舍掉）
可见一共有3个解