Question

计算∫∫（S）(x+y+z)dS，其中S为曲面x^2+y^2+z^2=a^2,z>=0

Answer 1

先参数化
x=|a|sinφcosθ
y=|a|sinφsinθ
z=|a|cosφ
因为z>=0,且0<=φ<=π
所以0<=φ<=π/2
0<=θ<=2π

然后
先求r=<x,y,z>的两个切向量
dr/dφ=|a|cosφcosθ i+ |a|cosφsinθ j - |a|sinφ k
dr/dθ=-|a|sinφsinθ i+ |a|sinφcosθ j
然后求叉乘
然后取模
=a^2 sinφ
然后用公式
=∫<0,π/2>∫<0,2π>(|a|sinφcosθ+|a|sinφsinθ+|a|cosφ) a^2sinφ dθdφ
=|a|^3∫<0,π/2>∫<0,2π>sin^2 φcosθ+sin^2 φsinθ+sinφcosφdθdφ
前两个都可分，有因子∫<0,2π>cosθdθ=∫<0,2π>sinθdθ=0
所以只剩下最后一项
2π|a|^3∫<0,π/2>sinφcosφdφ
=π|a|^3 sin^2 φ|<0,π/2>
=π|a|^3

Answer 2

因为球面是封闭面，所以这题可用高斯定理计算,所以所求式等于三重积分号(整个球体)(1加1加1)dv等于3.积分号(从0到a)r^2dr积分号(从0到2派)d西塔积分号(从0到派)sin飞d飞等于4派a^3