Question

什么是分部积分法？

Answer 1

定义微积分中的一类积分办法：对于那些由两个不同函数组成的被积函数，不便于进行换元的组合分成两部份进行积分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。根据组成积分函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序。在不定积分上的应用具体操作如：根据“反对幂三指”先后顺序，前者为u，后者为v（例：被积函数由幂函数和三角函数组成则按口诀先积三角函数（即：按公式∫udv =
uv - ∫vdu + c把幂函数看成U，三角函数看成V，））。原公式： (uv)'=u'v+uv'求导公式 ： d(uv)/dx = (du/dx)v +
u(dv/dx) 写成全微分形式就成为 ：d(uv) = vdu + udv 移项后，成为：udv = d(uv) -vdu 两边积分得到：∫udv = uv - ∫vdu 例：∫xcosxdx = xsinx - ∫sinxdx从这个例子中，就可以体会出分部积分法的应用。在定积分上的应用与不定积分的分部积分法一样，可得∫b/a u(x)v'（x）dx=[∫u(x)v'（x）dx]b/a=[u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx]b/a=[u(x)-v(x)]b/a- ∫b/a v(x)u'(x)dx 简记作 ∫b/a uv'dx=[uv]b/a-∫b/a uv'dx 或∫b/a udv=[uv]b/a-∫b/a
vdu例如∫1/0arcsin xdx=[xarcsinx]1/0-∫1/0
xdarcsinx从这个例子中就可以看到在定积分上是如何应用的。

Answer 2

就是有的时候直接积分积不出来，然后利用积法则
即
d(uv)=u'v+uv'
两边积分就有
uv=∫ u'vdx+∫uv'dx
例如积∫lnxdx
不是很好直接积，但是利用分部积分就很容易
令u'=1,v=lnx
我们就有u=x
所以
xlnx=∫lnx dx+∫x*(lnx)'dx
xlnx=∫lnx dx+∫1dx
∫lnx dx=xlnx-x+C
此即为分部积分
通常写成
∫ u'vdx=uv-∫uv'dx