Question

【再次求助一道不定积分问题（只要求用凑微分法解题/需要写出用凑微分法解题的过程）】

此题只要求用凑微分法！另外各位大神有数据编辑器的最好用数据编辑器写完之后截个图啊！万分感谢！

Answer 1

原式
=∫(x^2-1+1)/√(1-x^2)dx
=∫[-√(x^2-1)+1/√(1-x^2)]dx
前一项要用换元法
后一项直接积分成arcsinx

追问

能否给出前一项用换元法的具体步骤？

追答

令x=sect,dx=secttantdt
代入得
∫√(x^2-1)dx

=∫tant*secttantdt
=∫(sec^2t-1)*sectdt
其实这个书上有个公式，直接代入就可以了

追问

你指的是哪本教科书？能否给出书名？万分感谢！因为昨天有一位朋友也和我说前一项就是书上的例题，可我弄不清楚是哪本书。

追答

这是个基本积分公式呀，每本书上都有

追问

貌似后一项是基本公式吧（等于arc sinx)，前一项我找过了，书上没有。

追答

∫√(x^2-1)dx
=∫tant*secttantdt
=∫(sec^2t-1)*sectdt
=∫(sec^3t-sect)dt
=∫sec^3tdt-∫sectdt
=∫sectdtant-∫1/costdt
=secttant-∫tantdsect-∫cost/cos^2tdt
=secttant-∫tantdsect-∫1/(1-sin^2t)dsint
=secttant-∫tantdsect-1/2∫[1/(1-sint)+1/(1+sint)]dsint
=secttant-∫tantdsect+1/2ln[(1-sint)/(1+sint)]
移项得
∫tantdsect=1/2secttant+1/4ln[(1-sint)/(1+sint)]

然后再反代
你真行，你看看147个常用积分表，怎么可能没有这个公式呢？