Question

求下列微分方程的通解（详细过程）

（1）y'=2xy^2
（2）dy/dx=ysin^2x
(3)dy/dx=1+x^2/2x^2y

Answer 1

解：（1）∵y'=2xy² ==>dy/dx=2xy²
==>dy/y²=2xdx (y≠0)
==>-1/y=x²+C (C是积分常数)
==>y=-1/(x²+C)
显然，y=0是原方程的解
∴原方程的通解是y=0和y=-1/(x²+C) (C是积分常数)。
（2）∵ dy/dx=ysin²x ==>dy/y=sin²xdx
==>dy/y=(1-cos(2x))dx/2 (应用倍角公式，y≠0)
==>ln│y│=(x/2-sin(2x)/4)+ln│C│ (C是非零积分常数)
==>y=Ce^(x/2-sin(2x)/4)
显然，y=0是原方程的解.即C=0
∴原方程的通解是y=Ce^(x/2-sin(2x)/4) (是积分常数)。
（3）∵dy/dx=(1+x²)/(2x²y) ==>2ydy=(1+1/x²)dx
==>y²=x-1/x+C (C是积分常数)
∴原方程的通解是y²=x-1/x+C (C是积分常数)。
注：（3）题没有表达清楚，我就按照dy/dx=(1+x²)/(2x²y)来求解。

Answer 2

刚解了呀。。。。。。。。。。。